a) Chứng minh tứ giác $ADME$ là hình gì?

Vì $I$ đối xứng với $M$ qua $AB$ nên:

$AB$ là đường trung trực của $MI$.

Suy ra: $D$ là trung điểm của $MI$ và $DM\perp AB$.

Tương tự, $K$ đối xứng với $M$ qua $AC$ nên:

$AC$ là đường trung trực của $MK$.

Suy ra: $E$ là trung điểm của $MK$ và $EM\perp AC$.

Mà $AB\perp AC$ nên:

$DM\parallel AC,\quad EM\parallel AB$.

Do $A,D\in AB$ nên: $AD\parallel EM$.

Do $A,E\in AC$ nên: $AE\parallel DM$.

Vậy tứ giác $ADME$ có hai cặp cạnh đối song song nên:

$ADME$ là hình bình hành.

Lại có: $\widehat{DAE}=90^\circ$.

Suy ra: $ADME$ là hình chữ nhật.

b) Chứng minh tứ giác $AMCK$ là hình gì?

Vì $AC$ là đường trung trực của $MK$ nên:

$AC\perp MK$ và $E$ là trung điểm của $MK$.

Trong tứ giác $AMCK$:

$AC$ vừa là đường chéo, vừa là đường trung trực của đường chéo $MK$.

Lại có: $AM=AK,\quad CM=CK$.

Suy ra: $AMCK$ là hình diều.

c) Chứng minh $I$ và $K$ đối xứng nhau qua $A$.

Vì $AB\perp AC$ nên:

$\widehat{MAC}+\widehat{MAB}=90^\circ$.

Do $I$ đối xứng của $M$ qua $AB$ và $K$ đối xứng của $M$ qua $AC$ nên:

$\widehat{IAB}=\widehat{MAB}$,

$\widehat{KAC}=\widehat{MAC}$.

Suy ra: $\widehat{IAK}=180^\circ$.

Mặt khác: $AI=AM=AK$.

Do đó: $A$ là trung điểm của $IK$.

Vậy: I và K đối xứng nhau qua A.

d) Nếu tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$.

Khi đó: $AB=AC$.

Suy ra: $DM=EM$

Mà $ADME$ là hình chữ nhật nên có hai cạnh kề bằng nhau.

Vậy: $ADME$ là hình vuông

Đồng thời: $AM=MC$ (trung điểm cạnh huyền của tam giác vuông cân), lại có: $AM=AK,\ MC=CK$.

Suy ra: $AM=MC=CK=KA$.

Vậy: $\boxed{AMCK \text{ là hình thoi}}$.

Ta có IM Vuông góc với AB ( vì I đối xứn với M qua AB)

Mà D là giao điểm của AB và MI

=> MD vuông góc với AB hay góc ADM = 90°

Ta có AC vuông góc với MK( vìk đối xứng với M qua AC)

Mà E là giao điểm của AC và MK

=> Góc AEM =90°

Tứ giác ADMK có 

Góc A= Góc D =góc E = 90°

=> ADMK là hình chữ nhật

B) ta có D là trung điểm AB

M là trung điểm BC

=> DM là đường trung bình của ∆ ABC

=> DM = 1/2 AC

Ta có DM = AE ( ADMK là hình chữ nhật)

=> AE = 1/2 AC 

=> E là trung điểm AC 

Tứ giác AMCK có

EA= EC ( E là trung điểm AC)

EK= EM( k đối xứng với M qua AC , E là giao điểm(

=> AMCK là hình bình hành

Và có AC vuông góc với MK tại E 

=> AMCK là hình thoi

( Cũng có thể chứng minh như sau ta có ∆ ABC là ∆ vuông có AM là trung tuyến 

Nên AM = MC = 1/2 B C nên AMCK là hình thoi)

Em tham khảo tại đây nhé.

Câu hỏi của nguuen thi minh tam - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo tại đây nhé.

Câu hỏi của nguuen thi minh tam - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Tứ giác AEDF là hình chữ nhật

⇒ DE // AC; DF // AB

Trong ∆ ABC, ta có: DB = DC (gt)

Mà DE // AC

Suy ra: AE = EB (tính chất đường trung bình của tam giác)

Lại có: DF // AB và DB = DC

Suy ra: AF = FC (tính chất đường trung bình của tam giác)

Xét tứ giác ADBM, ta có: AE = EB (cmt)

ED = EM (vì AB là trung trực DM)

Suy ra tứ giác ADBM là hình bình hành (vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

Mặt khác: AB ⊥ DM

Vậy hình bình hành ADBM là hình thoi (vì có hai đường chéo vuông góc)

Xét tứ giác ADCN, ta có: AF = FC (cmt)

DF = FN (vì AC là đường trung trực DN)

Suy ra tứ giác ADCN là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).

Lại có: AC ⊥ DN

Vậy hình bình hành ADCN là hình thoi (vì có hai đường chéo cắt nhau)

a: M đối xứng với H qua AB

nên MH vuông góc với AB tại trung điểm của MH

=>E là trung điểm của MH; AM=AH; BM=BH

mà MA=MB

nene MA=MB=BH=HA

M đối xứng với K qua AC

nên MK vuông góc với AC tại trung điểm của MK

=>F là trung điểm của MK; AM=AK; CM=CK

mà CM=MA

nên CK=CM=MA=AK

=>AMCK là hình thoi

=>AC là phân giác của góc KAM(1)

Xét tứ giác AEMF có

góc AEM=góc AFM=góc FAE=90 độ

nên AEMF là hình chữ nhật

b: Xét tứ giác AMBH có

MA=MB=BH=HA

nên AMBH là hình thoi

=>AB là phân giác của góc MAH(2)

c: Từ (1), (2) suy ra góc HAK=2*90=180 độ

=>H,A,K thẳng hàng

mà AH=AK

nên A la trung điểm của HK