a)Ta có 

BK=KC (GT)

AK=KD( Đối xứng)

suy ra tứ giác ABDC là hình bình hành (1)

mà góc A = 90 độ (2)

từ 1 và 2 suy ra tứ giác ABDC là hình chữ nhật

b) ta có

BI=IA

EI=IK

suy ra tứ giác AKBE là hình bình hành (1)

ta lại có 

BC=AD ( tứ giác ABDC là hình chữ nhật)

mà BK=KC

      AK=KD

suy ra BK=AK (2)

Từ 1 và 2 suy ra tứ giác AKBE là hình thoi

c) ta có

BI=IA

BK=KC

suy ra IK là đường trung bình

suy ra IK//AC

          IK=1/2AC

mà IK=1/2EK

Suy ra EK//AC 

           EK=AC

Suy ra tứ giác  AKBE là hình bình hành

B A C D E K

a: Xét tứ giác ADME có \(\hat{ADM}=\hat{AEM}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADME là hình chữ nhật

b: Xét ΔADM vuông tại D và ΔADP vuông tại D có

AD chung

DM=DP

Do đó: ΔADM=ΔADP

=>\(\hat{DAM}=\hat{DAP}\)

=>AB là phân giác của góc MAP

=>\(\hat{MAP}=2\cdot\hat{MAB}\)

Xét ΔAEM vuông tại E và ΔAEK vuông tại E có

AE chung

EM=EK

Do đó: ΔAEM=ΔAEK

=>\(\hat{EAM}=\hat{EAK}\)

=>AC là phân giác của góc MAK

=>\(\hat{MAK}=2\cdot\hat{MAC}\)

\(\hat{KAP}=\hat{KAM}+\hat{MAP}\)

\(=2\left(\hat{MAB}+\hat{MAC}\right)=2\cdot\hat{BAC}=180^0\)

=>K,A,P thẳng hàng

mà AK=AP(=AM)

nên A là trung điểm của PK

=>P đối xứng với K qua A

a) ta có : tam giác ABC vuông tại A

=> BAC = 90 độ (1)

 có : MD vuông góc AB

=> MDA = 90 độ (2)

Ta có : ME vuông góc AC

=> MEA = 90 độ (3)

Từ (1)(2)(3) => ADME là hình chữ nhật

a) Chứng minh tứ giác $ADME$ là hình gì?

Vì $I$ đối xứng với $M$ qua $AB$ nên:

$AB$ là đường trung trực của $MI$.

Suy ra: $D$ là trung điểm của $MI$ và $DM\perp AB$.

Tương tự, $K$ đối xứng với $M$ qua $AC$ nên:

$AC$ là đường trung trực của $MK$.

Suy ra: $E$ là trung điểm của $MK$ và $EM\perp AC$.

Mà $AB\perp AC$ nên:

$DM\parallel AC,\quad EM\parallel AB$.

Do $A,D\in AB$ nên: $AD\parallel EM$.

Do $A,E\in AC$ nên: $AE\parallel DM$.

Vậy tứ giác $ADME$ có hai cặp cạnh đối song song nên:

$ADME$ là hình bình hành.

Lại có: $\widehat{DAE}=90^\circ$.

Suy ra: $ADME$ là hình chữ nhật.

b) Chứng minh tứ giác $AMCK$ là hình gì?

Vì $AC$ là đường trung trực của $MK$ nên:

$AC\perp MK$ và $E$ là trung điểm của $MK$.

Trong tứ giác $AMCK$:

$AC$ vừa là đường chéo, vừa là đường trung trực của đường chéo $MK$.

Lại có: $AM=AK,\quad CM=CK$.

Suy ra: $AMCK$ là hình diều.

c) Chứng minh $I$ và $K$ đối xứng nhau qua $A$.

Vì $AB\perp AC$ nên:

$\widehat{MAC}+\widehat{MAB}=90^\circ$.

Do $I$ đối xứng của $M$ qua $AB$ và $K$ đối xứng của $M$ qua $AC$ nên:

$\widehat{IAB}=\widehat{MAB}$,

$\widehat{KAC}=\widehat{MAC}$.

Suy ra: $\widehat{IAK}=180^\circ$.

Mặt khác: $AI=AM=AK$.

Do đó: $A$ là trung điểm của $IK$.

Vậy: I và K đối xứng nhau qua A.

d) Nếu tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$.

Khi đó: $AB=AC$.

Suy ra: $DM=EM$

Mà $ADME$ là hình chữ nhật nên có hai cạnh kề bằng nhau.

Vậy: $ADME$ là hình vuông

Đồng thời: $AM=MC$ (trung điểm cạnh huyền của tam giác vuông cân), lại có: $AM=AK,\ MC=CK$.

Suy ra: $AM=MC=CK=KA$.

Vậy: $\boxed{AMCK \text{ là hình thoi}}$.

a: Xét tứ giác AMEN có

góc AME=góc ANE=góc MAN=90 độ

nên AMEN là hình chữ nhật

b: Để AMEN là hình vuông thì AE là phân giác của góc MAN

=>E là chân đường phân giác kẻ từ A xuống BC

c: E đối xứng với I qua AB

nên EI vuông góc với AB tại trung điểm của EI

=>AB là phân giác của góc EAI(1)

E đối xứng với K qua AC

nên EK vuông góc với AC tại trung điểm của EK

=>AC là phân giác của góc EAK(2)

Từ (1), (2) suy ra góc KAI=2*90=180 độ

=>K,A,I thẳng hàng

mà AK=AI

nên A là trung điểm của KI

A B C H D E M N I

a) Tứ giác AEHD có 3 góc vuông nên góc còn lại cũng vuông \(\Rightarrow\) tứ giác AEHD là hình chữ nhật.

b)Ta cần chứng minh NA = AM và A, M, N thẳng hàng

Do tứ giác AEHD là hình chữ nhật nên AD // EH \(\Rightarrow\)AD//NE (1)

Mặt khác DE là đường trung bình nên DE // NM \(\Rightarrow\)DE //NA(2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EDAN là hình bình hành \(\Rightarrow\) ED = AN (*)

Tương tự ED = AM (**) .Từ (*) và (**) suy ra AM = AN (***)

Dễ chứng minh \(\Delta\)MAD = \(\Delta\)HAD \(\Rightarrow\)^MAD = ^HAD (4)

Tương tự: ^NAE = ^HAE (5) . Cộng theo vế (4) và (5) suy ra ^MAD + ^NAE = 90^o (6)

Từ (6) suy ra  ^MAD + ^NAE + ^EAD = 90^o + ^EAD = 180^o \(\Rightarrow\)N, A, E thẳng hàng (****)

Từ (***) và (****) suy ra đpcm.

c)\(\Delta\)ABC vuông tại A có AI là trung tuyến nên \(AI=\frac{1}{2}BC=CI\)\(\Rightarrow\)\(\Delta\)ACI cân tại I

\(\Rightarrow\)^IAC = ^ICA (7)

Mặt khác ta dễ dàng chứng minh \(\Delta\)CNA = \(\Delta\)CHA (tự chứng minh đi nhé!)

Suy ra ^NCA = ^HCA \(\Rightarrow\)^NCA = ^ICA (8) (vì H, I cùng thuộc B nên ta có H, I, C thẳng hàng do đó ^HCA = ^ICA)

Từ (7) và (8) ta có ^IAC = ^NCA. Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên ta có đpcm.

P/s: Không chắc nha!