Xét tứ giác AIMK có

\(\widehat{AIM}=\widehat{AKM}=\widehat{KAI}=90^0\)

=>AIMK là hình chữ nhật

=>AIMK nội tiếp đường tròn đường kính AM và IK

=>Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AIMK là trung điểm chung của AM và IK

\(\widehat{AHM}=\widehat{AKM}=\widehat{AIM}=90^0\)

=>A,K,M,H,I cùng thuộc đường tròn đường kính AM

=>H thuộc (O)

Xét (O) có

ΔKHI nội tiếp

KI là đường kính

Do đó: ΔKHI vuông tại H

=>\(\widehat{KHI}=90^0\)

giúp mình với mình đang cần gấp ạ

a: Xét tứ giác AMHN có 

\(\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=\widehat{MAN}=90^0\)

Do đó: AMHN là hình chữ nhật

A B C H M I K

Không mất tính tổng quát, ta xét M thuộc HC (trường hợp M thuộc HB tương tự)

Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH xuất phát từ đỉnh A nên \(AH=\frac{1}{2}BC\) (1) và AH cũng là đường trung tuyến \(\Rightarrow HC=HB=\frac{1}{2}BC\) (2) và đường phân giác => ^CAH = ^BAH. Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta\)AHC vuông cân tại H. Từ đó 

AH = HC và ^ACH = ^HAC = ^BAH. Tới đây tìm cách chứng minh AI = CK(mình chưa biết làm đâu:v). Từ đó suy ra \(\Delta\)HIA = \(\Delta\)HKC. Suy ra ^AHI = ^CHK suy ra ^IHK = ^IHA + ^AHK = ^CHK + ^AHK = 90^o => \(\Delta\)IHK vuông tại H (3)

Mặt khác từ  \(\Delta\)HIA = \(\Delta\)HKC suy ra HI =HK suy ra  \(\Delta\)IHK cân tại H (4)

Từ (3) và (4) suy ra đpcm.

P/s: Ko chắc, bác zZz Cool Kid zZz check giúp:v

làm đoạn tth thiếu nhé:

cm AI=CK

t/g ABC vuông cân tại A => ABC^=45 độ

t/g BIM có I^=90 độ mà ABC^=45 độ => BMI^=45 độ

=> t/g BIM vuông cân tại I => BI=IM 

Mà tứ giác BIAK có I^=A^=K^=90 độ => tứ giác BIAK là HCN => IM=AK=BI

Mà AB=AC

=> AB-BI=AC-AK

=>  AI=CK 

a: Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}=\hat{AFH}=\hat{FAE}=90^0\)

nên AEHF là hình chữ nhật

=>AH=EF

b: Ta có: AEHF là hình chữ nhật

=>AF//HE và AF=HE

AF//HE

=>MF//HE

AF=HE

AF=FM

Do đó: HE=FM

Xét tứ giác MHEF có

MF//HE

MF=HE

Do đó: MHEF là hình bình hành

c: ΔHEB vuông tại E
mà EI là đường trung tuyến

nên IE=IH

=>ΔIEH cân tại I

=>\(\hat{IEH}=\hat{IHE}\)

mà \(\hat{IHE}=\hat{ACB}\) (hai góc đồng vị, HE//AC)

nên \(\hat{IEH}=\hat{ACB}\)

Ta có: ΔCFH vuông tại F

mà FK là đường trung tuyến

nên KF=KH

=>ΔKFH cân tại K

=>\(\hat{KFH}=\hat{KHF}\)

mà \(\hat{KHF}=\hat{ABC}\) (hai góc đồng vị, FH//AB)

nên \(\hat{KFH}=\hat{ABC}\)

AEHF là hình chữ nhật

=>\(\hat{FEH}=\hat{FAH}=\hat{HAC}\)

AEHF là hình chữ nhật

=>\(\hat{EFH}=\hat{EAH}=\hat{BAH}\)

\(\hat{KFE}=\hat{KFH}+\hat{EFH}=\hat{ABC}+\hat{HAB}=90^0\)

=>KF⊥FE tại F

\(\hat{IEF}=\hat{IEH}+\hat{FEH}=\hat{HAC}+\hat{HCA}=90^0\)

=>EI⊥EF tại E

mà KF⊥FE

nên KF//IE

=>KFEI là hình thang

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot BC=4\cdot6=24\)

Diện tích hình thang KFEI là:

\(S_{KFEI}=\frac12\cdot\left(KF+EI\right)\cdot FE=\frac12\cdot AH\cdot\left(\frac12HB+\frac12HC\right)\)

\(=\frac14\cdot AH\cdot BC=\frac14\cdot24=6\left(cm^2\right)\)