A B C H D E I

a/ Xét \(\Delta ABC\) có

\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^o\) (1)

Ta có

\(\widehat{ABD}=\widehat{ABC}\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn là phân giác của góc tạo bởi 2 tiếp tuyến) (2)

Ta có 

\(\widehat{ACE}=\widehat{ACB}\)  (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn là phân giác của góc tạo bởi 2 tiếp tuyến) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\widehat{ABD}+\widehat{ACE}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ABD}+\widehat{ACE}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^o\)

\(\Rightarrow\left(\widehat{ABD}+\widehat{ABC}\right)+\left(\widehat{ACE}+\widehat{ACB}\right)=\widehat{DBC}+\widehat{ECB}=180^o\) 

=> BD//CE (hai đường thẳng bị cắt bởi đường thẳng thứ 3 có hai góc trong cùng phía bù nhau thì chúng // với nhau)

Ta có 

\(AD\perp BD\Rightarrow AD\perp CE\)

\(AE\perp CE\Rightarrow AE\perp BD\)

=> AD và AE cùng vuông góc với BD => AD và AE trùng nhau (Từ 1 điểm ở ngoài 1 đường thẳng chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho) => D; A; E thẳng hàng

b/

Ta có \(\Delta ABC\) vuông tại A => A thuộc đường tròn đường kính BC. Gọi I là trung điểm BC nối AI ta có

BD//CE => BDEC là hình thang

AD=AE (bán kính (O))

IB=IC

=> AI là đường trung bình của hình thang BDEC => AI//CE mà \(CE\perp DE\Rightarrow AI\perp DE\) => DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC hay DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC

a) Theo tính chất của hai của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
^DAB=^BAH; ^HAC=^CAE.
Suy ra: ^DAE=^DAB+^BAH+^HAC+^CAE=2^BAH+2^HAC=2^BAC=180o.
Do ^DAE=180o nên DE là đường kính, suy ra D, E, A thẳng hàng.
b) Theo câu a:  DE là đường kính đường tròn tâm A.
Có BD⊥DE,CE⊥DE. Suy ra BD//CE.

Gọi O là trung điểm BC.
Vậy tứ giác BDEC là hình thang. Do O và A lần lượt là trung điểm của BC, DE nên OA là đường trung bình của hình thang BDEC.
Suy ra OA⊥DE mà OA=BC2  nên OA là bán kính của đường tròn đường kính BC.

Thế thì $DE$ tiếp xúc với đường tròn đường kính $BC$.

a: Gọi I,K lần lượt là trung điểm của AB,AC

Xét (I) có

ΔADB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔADB vuông tại D

=>\(\hat{ADB}=90^0\)

Xét (K) có

ΔADC nội tiếp

AC là đường kính

Do đó: ΔADC vuông tại D

=>\(\hat{ADC}=90^0\)

\(\hat{BDC}=\hat{BDA}+\hat{CDA}=90^0+90^0=180^0\)

=>B,D,C thẳng hàng

b: D đối xứng E qua AB

=>AB là đường trung trực của DE

=>AD=AE và BD=BE

D đối xứng F qua AC
=>AC là đường trung trực của DF

=>AD=AF; CD=CF

Xét ΔADB và ΔAEB có

AD=AE

DB=EB

AB chung

Do đó; ΔADB=ΔAEB

=>\(\hat{DAB}=\hat{EAB}\)

=>AB là phân giác của góc DAE

=>\(\hat{DAE}=2\cdot\hat{DAB}\)

Xét ΔADC và ΔAFC có

AD=AF

CD=CF

AC chung

Do đó: ΔADC=ΔAFC

=>\(\hat{DAC}=\hat{FAC}\)

=>AC là phân giác của góc DAF

=>\(\hat{FAC}=2\cdot\hat{DAC}\)

\(\hat{EAF}=\hat{EAD}+\hat{FAD}\)

\(=2\left(\hat{DAB}+\hat{DAC}\right)=2\cdot\hat{BAC}=180^0\)

=>E,A,F thẳng hàng

a, BH ^ AC và CM ^ AC Þ BH//CM

Tương tự => CH//BM

=> BHCM là hình bình hành

b, Chứng minh BNHC là hình bình hành

=> NH//BC

=> AH ^ NH =>  A H M ^ = 90 0

Mà  A B N ^ = 90 0 => Tứ giác AHBN nội tiếp

c, Tương tự ý b, ta có: BHEC là hình bình hành. Vậy NH và HE//BC => N, H, E thẳng hàng

d,  A B N ^ = 90 0 => AN là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHBN

AN = AM = 2R, AB = R 3 =>  A m B ⏜ = 120 0

S A O B = 1 2 S A B M = R 2 3 4

S A m B ⏜ = S a t A O B - S A O B = R 2 12 4 π - 3 3

=> S cần tìm =  2 S A m B ⏜ = R 2 6 4 π - 3 3

M đối xứng H qua AB

=>AB là đường trung trực của HM

=>AH=AM và BH=BM

N đối xứng H qua AC
=>AC là đường trung trực của HN

=>AH=AN; CH=CN

Xét ΔAHB và ΔAMB có

AH=AM

BH=BM

AB chung

Do đó: ΔAHB=ΔAMB

=>\(\hat{HAB}=\hat{MAB}\)

=>AB là phân giác của góc HAM

=>\(\hat{HAM}=2\cdot\hat{HAB}\)

Xét ΔAHC và ΔANC có

AH=AN

CH=CN

AC chung

Do đó: ΔAHC=ΔANC

=>\(\hat{HAC}=\hat{NAC}\)

=>AC là phân giác của góc NAH

=>\(\hat{NAH}=2\cdot\hat{HAC}\)

Ta có: \(\hat{MAN}=\hat{MAH}+\hat{NAH}\)

\(=2\left(\hat{HAB}+\hat{HAC}\right)=2\cdot\hat{BAC}=2\cdot90^0=180^0\)

=>M,A,N thẳng hàng

mà AM=AN(=AH)

nên A là trung điểm của MN

ΔAHB=ΔAMB

=>\(\hat{AHB}=\hat{AMB}\)

=>\(\hat{AMB}=90^0\)

=>BM⊥MN

ΔAHC=ΔANC

=>\(\hat{AHC}=\hat{ANC}\)

=>\(\hat{ANC}=90^0\)

=>CN⊥NM

mà BM⊥MN

nên BM//CN

Gọi O là trung điểm của BC

=>O là tâm đường tròn đường kính BC

ΔABC vuông tại A

mà AO là đường trung tuyến

nên OA=OB=OC

=>A nằm trên (O)

Xét hình thang BMNC có

A,O lần lượt là trung điểm của MN,BC

=>AO là đường trung bình của hình thang BMNC

=>AO//BM//CN

=>AO⊥MN

Xét (O) có

OA là bán kính

MN⊥OA tại A

Do đó: MN là tiếp tuyến tại A của (O)

=>MN tiếp xúc với đường tròn đường kính BC tại A