Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a; Xét ΔAEH vuông tại E và ΔAHB vuông tại H có
\(\hat{EAH}\) chung
Do đó: ΔAEH~ΔAHB
=>\(\frac{AE}{AH}=\frac{AH}{AB}\)
=>\(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔADH vuông tại D và ΔAHC vuông tại H có
\(\hat{DAH}\) chung
Do đó: ΔADH~ΔAHC
=>\(\frac{AD}{AH}=\frac{AH}{AC}\)
=>\(AD\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AE\cdot AB=AD\cdot AC\)
=>\(\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}\)
Xét ΔAED vuông tại A và ΔACB vuông tại A có
\(\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}\)
Do đó: ΔAED~ΔACB
b: Xét tứ giác AEHD có \(\hat{AEH}=\hat{ADH}=\hat{DAE}=90^0\)
nên AEHD là hình chữ nhật
=>DE=AH
=>DE=8(cm)
ΔABC có AH là đường cao
nên \(S_{ABC}=\frac12\cdot AH\cdot BC=\frac12\cdot8\cdot20=80\left(\operatorname{cm}^2\right)\)
ΔAED~ΔACB
=>\(\frac{S_{AED}}{S_{ACB}}=\left(\frac{DE}{CB}\right)^2=\left(\frac{8}{20}\right)^2=\left(\frac25\right)^2=\frac{4}{25}\)
=>\(S_{AED}=80\cdot\frac{4}{25}=\frac{320}{25}=12,8\left(\operatorname{cm}^2\right)\)
a: Xét ΔADH vuông tại D và ΔAHB vuông tại H có
\(\hat{DAH}\) chung
Do đó: ΔADH~ΔAHB
=>\(\frac{AD}{AH}=\frac{AH}{AB}\)
=>\(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
=>\(AD=\frac{AH^2}{AB}\)
Xét ΔAEH vuông tại E và ΔAHC vuông tại H có
\(\hat{EAH}\) chung
Do đó: ΔAEH~ΔAHC
=>\(\frac{AE}{AH}=\frac{AH}{AC}\)
=>\(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
=>\(AE=\frac{AH^2}{AC}\)
Từ (1),(2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)
=>\(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)
Xét ΔADE vuông tại A và ΔACB vuông tại A có
\(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)
Do đó: ΔADE~ΔACB
b:
Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBAC vuông tại A có
\(\hat{HBA}\) chung
Do đó: ΔBHA~ΔBAC
=>\(\frac{HA}{AC}=\frac{BA}{BC}\)
=>\(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)
ΔADE vuông tại A
=>\(S_{ADE}=\frac12\cdot AD\cdot AE=\frac12\cdot\frac{AH^2}{AB}\cdot\frac{AH^2}{AC}=\frac12\cdot\frac{AH^4}{AB\cdot AC}=\frac12\cdot\frac{AH^4}{AH\cdot BC}=\frac12\cdot\frac{AH^3}{BC}\)
=>\(S_{ADE}=\frac12\cdot\frac{8^3}{20}=\frac12\cdot\frac{512}{20}=\frac{256}{10}=25,6\left(\operatorname{cm}^2\right)\)
Xét $\triangle ABH$ và $\triangle ABC$:
$\angle AHB=\angle BAC=90^\circ$
$\angle ABH=\angle ABC$
$\Rightarrow\triangle ABH\sim\triangle ABC$ (g.g)
$\Rightarrow\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{BH}{AB}$
$\Rightarrow AB^2=BH\cdot BC$.
b) Chứng minh $AH^2=HB\cdot HC$Xét $\triangle AHB$ và $\triangle AHC$:
$\angle AHB=\angle AHC=90^\circ$
$\angle HAB=\angle ACH$
$\Rightarrow\triangle AHB\sim\triangle AHC$ (g.g)
$\Rightarrow\dfrac{HB}{AH}=\dfrac{AH}{HC}$
$\Rightarrow AH^2=HB\cdot HC$.
c) Chứng minh $\triangle AFE\sim\triangle ABC$Ta có:
$HE\perp AB,\quad HF\perp AC$
$\Rightarrow AEHF$ là hình chữ nhật.
Suy ra:
$AE=HF,\quad AF=HE$.
Do $\triangle AHB\sim\triangle AHC$ nên:
$\dfrac{HE}{HF}=\dfrac{AH}{BH}\cdot\dfrac{HC}{AH}$
$\Rightarrow\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{HC}{BH}$.
Mà:
$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{HC}{BH}$
$\Rightarrow\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{AC}{AB}$.
Lại có:
$\angle FAE=\angle CAB=90^\circ$
$\Rightarrow\triangle AFE\sim\triangle ACB$ (c.g.c).
d) Tính $S_{AEF}$$BC=30\text{ cm},\quad AC=12\text{ cm}$
$AB^2=BC^2-AC^2$
$=30^2-12^2$
$=756$
$\Rightarrow AB=6\sqrt{21}\text{ cm}$.
Theo hệ thức lượng:
$AE=\dfrac{AC^2}{BC}$
$=\dfrac{12^2}{30}=4,8\text{ cm}$
$AF=\dfrac{AB^2}{BC}$
$=\dfrac{756}{30}=25,2\text{ cm}$.
Do $\angle EAF=90^\circ$:
$S_{AEF}=\dfrac12\cdot AE\cdot AF$
$=\dfrac12\cdot4,8\cdot25,2$
$=60,48\text{ cm}^2$.
Xét $\triangle ABH$ và $\triangle ABC$:
$\angle AHB=\angle BAC=90^\circ$
$\angle ABH=\angle ABC$
$\Rightarrow\triangle ABH\sim\triangle ABC$ (g.g)
$\Rightarrow\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{BH}{AB}$
$\Rightarrow AB^2=BH\cdot BC$.
b) Chứng minh $AH^2=HB\cdot HC$Xét $\triangle AHB$ và $\triangle AHC$:
$\angle AHB=\angle AHC=90^\circ$
$\angle HAB=\angle ACH$
$\Rightarrow\triangle AHB\sim\triangle AHC$ (g.g)
$\Rightarrow\dfrac{HB}{AH}=\dfrac{AH}{HC}$
$\Rightarrow AH^2=HB\cdot HC$.
c) Chứng minh $\triangle AFE\sim\triangle ABC$Ta có:
$HE\perp AB,\quad HF\perp AC$
$\Rightarrow AEHF$ là hình chữ nhật.
Suy ra:
$AE=HF,\quad AF=HE$.
Do $\triangle AHB\sim\triangle AHC$ nên:
$\dfrac{HE}{HF}=\dfrac{AH}{BH}\cdot\dfrac{HC}{AH}$
$\Rightarrow\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{HC}{BH}$.
Mà:
$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{HC}{BH}$
$\Rightarrow\dfrac{AF}{AE}=\dfrac{AC}{AB}$.
Lại có:
$\angle FAE=\angle CAB=90^\circ$
$\Rightarrow\triangle AFE\sim\triangle ACB$ (c.g.c).
d) Tính $S_{AEF}$$BC=30\text{ cm},\quad AC=12\text{ cm}$
$AB^2=BC^2-AC^2$
$=30^2-12^2$
$=756$
$\Rightarrow AB=6\sqrt{21}\text{ cm}$.
Theo hệ thức lượng:
$AE=\dfrac{AC^2}{BC}$
$=\dfrac{12^2}{30}=4,8\text{ cm}$
$AF=\dfrac{AB^2}{BC}$
$=\dfrac{756}{30}=25,2\text{ cm}$.
Do $\angle EAF=90^\circ$:
$S_{AEF}=\dfrac12\cdot AE\cdot AF$
$=\dfrac12\cdot4,8\cdot25,2$
$=60,48\text{ cm}^2$.
$\angle BAC=\angle BHA=90^\circ$
$\angle ABC=\angle HBA$
$\Rightarrow\triangle ABC\sim\triangle HBA$ (g.g).
Suy ra:
$\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{AB}{BH}$
$\Rightarrow AB^2=BH\cdot BC$.
b) Tính $AB,DE$$BC=BH+HC=4+9=13$
$AB^2=BH\cdot BC=4\cdot13=52$
$\Rightarrow AB=2\sqrt{13}\text{ cm}$.
Từ các tam giác đồng dạng:
$AH^2=BH\cdot HC=4\cdot9=36$
$\Rightarrow AH=6\text{ cm}$.
Ta có:
$AD=AH\cos\angle BAH$
Mà từ các hệ thức lượng trong tam giác vuông:
$AD=HC=9\text{ cm}$
Tương tự:
$AE=BH=4\text{ cm}$.
Vì $\angle DAE=90^\circ$ nên:
$DE^2=AD^2+AE^2$
$=9^2+4^2$
$=97$
$\Rightarrow DE=\sqrt{97}\text{ cm}$.
c) Chứng minh $AD\cdot AB=AE\cdot AC$ và $AM\perp DE$Ta có:
$AD=HC,\quad AE=BH$
$AB^2=BH\cdot BC$
$AC^2=HC\cdot BC$
$\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\sqrt{\frac{BH}{HC}}$
Mặt khác:
$\frac{AD}{AE}=\frac{HC}{BH}$.
Cách nhanh hơn, dùng $AB=2\sqrt{13}, AC=3\sqrt{13}$:
$AD\cdot AB=9\cdot2\sqrt{13}=18\sqrt{13}$
$AE\cdot AC=4\cdot3\sqrt{13}=12\sqrt{13}$
Hai vế không bằng nhau, nên với dữ kiện câu b thì mệnh đề c như đề ghi không đúng.
Có khả năng đề bài bị nhầm vị trí $D,E$ hoặc câu c có điều kiện khác. Bạn kiểm tra lại đề nhé
d)Với câu d, nếu dùng đúng cách xác định $D,E$ như đề thì đặt:
$BH=m,\quad HC=n$
Khi đó:
$AD=HC=n,\quad AE=BH=m$
$S_{ADE}=\frac12mn$
Mặt khác:
$S_{ABC}=\frac12AB\cdot AC$
$AB=\sqrt{m(m+n)},\quad AC=\sqrt{n(m+n)}$
$\Rightarrow S_{ABC}=\frac12(m+n)\sqrt{mn}$
Do đó:
$S_{BDEC}=S_{ABC}-S_{ADE}$.
Điều kiện:
$S_{ADE}=\frac13S_{BDEC}$
$\Rightarrow4S_{ADE}=S_{ABC}$
$\Rightarrow2mn=(m+n)\sqrt{mn}$
$\Rightarrow2\sqrt{mn}=m+n$
Theo bất đẳng thức:
$m+n\ge2\sqrt{mn}$
Dấu bằng xảy ra khi:
$m=n$
$\Rightarrow BH=HC$
$\Rightarrow AB=AC$.
Vậy tam giác $ABC$ phải là tam giác vuông cân tại $A$.
A B C H D E
ABEH là hình chữ nhật ( có ba góc vuông)
\(\widehat{\Rightarrow AED}=\widehat{AHD}\)
mà \(\widehat{AHD}=\widehat{ACB}\)(cùng phụ với góc DHC)
\(\Rightarrow\Delta ADE\infty\Delta ABC\left(g.g\right)\)