a: Xét (A;AH) có

AH là bán kính

BC\(\perp\)AH tại H

Do đó: BC là tiếp tuyến của (A;AH)

b: Xét (A) có

BH,BD là các tiếp tuyến

Do đó: BH=BD và AB là phân giác của góc HAD

Xét (A) có

CE,CH là các tiếp tuyến

Do đó: CE=CH và AC là phân giác của góc HAE

c: BD+CE

=BH+CH

=BC

d: AB là phân giác của góc HAD

=>\(\widehat{HAD}=2\cdot\widehat{HAB}\)

AC là phân giác của góc HAE

=>\(\widehat{HAE}=2\cdot\widehat{HAC}\)

Ta có: \(\widehat{HAD}+\widehat{HAE}=\widehat{EAD}\)

=>\(\widehat{EAD}=2\cdot\left(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}\right)\)

=>\(\widehat{EAD}=2\cdot\widehat{BAC}=180^0\)

=>E,A,D thẳng hàng

a: Xét tứ giác AHCE có \(\hat{AHC}+\hat{AEC}=90^0+90^0=180^0\)

nên AHCE là tứ giác nội tiếp

=>A,H,C,E cùng thuộc một đường tròn

b: Sửa đề: Chứng minh BH=BD; DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC

Vì BC⊥AH tại H

nên BC là tiếp tuyến tại H của (A;AH)

Xét ΔAHB vuông tại H và ΔADB vuông tại D có

AB chung

AH=AD

Do đó: ΔAHB=ΔADB

=>BH=BD

Xét (O) có

BH,BD là các tiếp tuyến

Do đó: AB là phân giác của góc HAD

=>\(\hat{HAD}=2\cdot\hat{HAB}\)

Xét (O) có

CE,CH là các tiếp tuyến

Do đó: AC là phân giác của góc HAE
=>\(\hat{HAE}=2\cdot\hat{HAC}\)

\(\hat{DAE}=\hat{DAH}+\hat{EAH}\)

\(=2\cdot\left(\hat{HAB}+\hat{HAC}\right)=2\cdot\hat{BAC}=90^0\)

=>D,A,E thẳng hàng

mà AD=AE

nên A là trung điểm của DE

Gọi M là trung điểm của BC

=>M là tâm đường tròn đường kính BC

ΔABC vuông tại A

=>A nằm trên đường tròn đường kính BC

=>A nằm trên (M)

Ta có: BD⊥DE

CE⊥DE

Do đó: BD//CE

Xét hình thang BDEC có

M,A lần lượt là trung điểm của BC,DE

=>AM là đường trung bình của hình thang BDEC

=>AM//CE//BD

=>AM⊥DE tại A

=>ED là tiếp tuyến tại A của (M)

c:

Gọi X là giao điểm của EH và BD

Xét (A) có

ΔDHE nội tiếp

DE là đường kính

Do đó: ΔDHE vuông tại H

=>DH⊥EH tại H

=>DH⊥XE tại H

=>ΔDHX vuông tại H

Ta có: \(\hat{BHD}+\hat{BHX}=\hat{XHD}=90^0\)

\(\hat{BDH}+\hat{BXH}=90^0\) (ΔDHX vuông tại H)

mà \(\hat{BHD}=\hat{BDH}\)

nên \(\hat{BHX}=\hat{BXH}\)

=>BH=BX

mà BH=BD

nên BX=BD(1)

Ta có: HK⊥DE

XD⊥ED

Do đó: HK//XD

Xét ΔEDB có KI//DB

nên \(\frac{KI}{DB}=\frac{EI}{EB}\) (2)

Xét ΔEBX có IH//BX

nên \(\frac{IH}{BX}=\frac{EI}{EB}\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra KI=HI

=>I là trung điểm của HK