A B C H M N K I O D

a/

Ta có

HI=CI (gt); AI=KI (gt) => ACKH là hbh (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

=> AC//HK (Trong hbh 2 cạnh đối // với nhau)

b/

Ta có

\(HM\perp AB\left(gt\right);AC\perp AB\left(gt\right)\) => HM//AC

Mà HK//AC (cmt)

\(\Rightarrow HM\equiv HK\) (Từ 1 điểm ở ngoài 1 đường thẳng chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng // với đường thẳng đã cho) => M; K; H thẳng hàng

=> AC//MK => MNCK là hình thang

Ta có

AC//MK => AN//MH

\(AB\perp AC\left(gt\right);HN\perp AC\left(gt\right)\) => AB//HN => AM//HN

=> AMHN là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

\(\widehat{A}=90^o\)

=> AMHN là hình chữ nhật => AH=MN (trong HCN hai đường chéo bằng nhau)

Mà ACKH là hbh (cmt) => AH=CK (cạnh đối hbh)

=> MN=CK

=> hình thang MNCK có MN = CK => MNCK là hình thang cân

c/

Xét tg AHC có

OA=OH (Trong hình chữ nhật 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

HI=CI (gt)

=> D là trọng tâm của tg AHC \(\Rightarrow AD=\dfrac{2}{3}AI\)

Xét hình bình hành ACKH có

\(AI=KI\) (Trong hình bh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) \(\Rightarrow AI=\dfrac{1}{2}AK\)

\(\Rightarrow AD=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}AK=\dfrac{1}{3}AK\Rightarrow AK=3AD\)

Đề sai nhá bạn,câu a,b không nói nữa rồi,ý mình là câu c ấy :D

Nếu bạn không tiện dùng tay so sánh thì mình sẹ chứng minh cho bạn xem

Hạ CT vuông góc với MK

Theo tính chất hình chữ nhật thì MC=AT mà dễ dàng chỉ ra được AT < AK nên đề sai

a: Sửa đề: AC=HK

Xét ΔIAC và ΔIKH có

IA=IK

\(\hat{AIC}=\hat{KIH}\) (hai góc đối đỉnh)

IC=IH

Do đó: ΔIAC=ΔIKH

=>AC=KH

b: Xét tứ giác AMHN có \(\hat{AMH}=\hat{ANH}=\hat{MAN}=90^0\)

nên AMHN là hình chữ nhật

=>AH cắt MN tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AH và MN

Xét ΔCAH có

CO,AI là các đường trung tuyến

CO cắt AI tại D

Do đó: Dlà trọng tâm của ΔCAH

Xét ΔAKC có

I là trung điểm của AK

IE//CK

Do đó: E là trung điểm của AC

Xét ΔCAH có

D là trọng tâm

E là trung điểm của AC

Do đó: H,D,E thẳng hàng

a: H đối xứng E qua AB

=>AB là đường trung trực của HE

=>AB⊥HE tại M và M là trung điểm của HE

H đối xứng F qua AC

=>AC là đường trung trực của HF

=>AC⊥HF tại N và N là trung điểm của HF

Xét tứ giác AMHN có \(\hat{AMH}=\hat{ANH}=\hat{MAN}=90^0\)

nên AMHN là hình chữ nhật

b: Xét ΔAMH vuông tại M và ΔAME vuông tại M có

AM chung

MH=ME

Do đó: ΔAMH=ΔAME

=>\(\hat{HAM}=\hat{EAM}\)

=>AB là phân giác của góc HAE

=>\(\hat{HAE}=2\cdot\hat{HAB}\)

ΔAMH=ΔAME

=>AH=AE

Xét ΔANH vuông tại N và ΔANF vuông tại N có

AN chung

NH=NF

Do đó: ΔANH=ΔANF

=>\(\hat{NAH}=\hat{NAF}\)

=>AC là phân giác của góc HAF

=>\(\hat{HAF}=2\cdot\hat{HAC}\)

ΔANH=ΔANF
=>AH=AF
mà AH=AE

nên AF=AE

\(\hat{FAE}=\hat{FAH}+\hat{EAH}\)

\(=2\left(\hat{HAB}+\hat{HAC}\right)=2\cdot\hat{BAC}=2\cdot90^0=180^0\)

=>F,A,E thẳng hàng

mà AF=AE

nên A là trung điểm của EF

=>E đối xứng F qua A

c: ΔABC vuông tại A

mà AI là đường trung tuyến

nên IA=IC

=>\(\hat{IAC}=\hat{ICA}=\hat{ACB}\)

AMHN là hình chữ nhật

=>\(\hat{ANM}=\hat{AHM}=\hat{ABC}\)

\(\hat{ANM}+\hat{IAC}=\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)

=>AI⊥MN

a)Ta có 

BK=KC (GT)

AK=KD( Đối xứng)

suy ra tứ giác ABDC là hình bình hành (1)

mà góc A = 90 độ (2)

từ 1 và 2 suy ra tứ giác ABDC là hình chữ nhật

b) ta có

BI=IA

EI=IK

suy ra tứ giác AKBE là hình bình hành (1)

ta lại có 

BC=AD ( tứ giác ABDC là hình chữ nhật)

mà BK=KC

      AK=KD

suy ra BK=AK (2)

Từ 1 và 2 suy ra tứ giác AKBE là hình thoi

c) ta có

BI=IA

BK=KC

suy ra IK là đường trung bình

suy ra IK//AC

          IK=1/2AC

mà IK=1/2EK

Suy ra EK//AC 

           EK=AC

Suy ra tứ giác  AKBE là hình bình hành

B A C D E K