Sửa đề: cắt AH tại E

Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBAC vuông tại A có

\(\hat{HBA}\) chung

Do đó: ΔBHA~ΔBAC
=>\(\frac{BH}{BA}=\frac{BA}{BC}\) (1)

Xét ΔBAH có BE là phân giác

nên \(\frac{BH}{BA}=\frac{EH}{EA}\) (2)

Xét ΔBAC có BD là phân giác

nên \(\frac{BA}{BC}=\frac{DA}{DC}\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\frac{EH}{EA}=\frac{DA}{DC}\)

=>\(EH\cdot DC=DA\cdot EA\)

d) Dễ thấy \(E\)là trực tâm của tam giác \(ACE\)(do là giao của hai đường cao \(DK,CH\)). 

suy ra \(AE\perp CD\).

Để chứng minh \(BM//CD\)ta sẽ chứng minh \(AE\perp BM\).

Ta có: 

\(\widehat{CAH}=\widehat{CBA}\)(vì cùng phụ với góc \(\widehat{ACB}\))

suy ra \(\widehat{CAE}=\widehat{ABM}\)

mà \(\widehat{CAE}+\widehat{EAB}=\widehat{CAB}=90^o\Rightarrow\widehat{ABM}+\widehat{EAB}=90^o\Rightarrow\widehat{AMB}=90^o\)

do đó \(BM\perp AE\).

Từ đây ta có đpcm. 

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có

\(\widehat{ABC}\) chung

Do đó: ΔABC~ΔHBA

b: Xét ΔAHD vuông tại H và ΔCED vuông tại E có

\(\widehat{ADH}=\widehat{CDE}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔAHD~ΔCED
=>\(\dfrac{AH}{CE}=\dfrac{DA}{DC}\)

=>\(AH\cdot DC=CE\cdot AD\)

c: Ta có: ΔAHD~ΔCED

=>\(\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{DH}{DE}\)

=>\(\dfrac{DA}{DH}=\dfrac{DC}{DE}\)

Xét ΔDAC và ΔDHE có

\(\dfrac{DA}{DH}=\dfrac{DC}{DE}\)

\(\widehat{ADC}=\widehat{HDE}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔDAC~ΔDHE

d: Xét ΔCAF có

AE,CH là các đường cao

AE cắt CH tại D

Do đó: D là trực tâm của ΔCAF

=>DF\(\perp\)AC

mà AB\(\perp\)AC

nên DF//AB

Xét ΔHDF vuông tại H và ΔHBA vuông tại H có

HD=HB

\(\widehat{HDF}=\widehat{HBA}\)(hai góc so le trong, DF//AB)

Do đó: ΔHDF=ΔHBA

=>HF=HA

=>H là trung điểm của AF

Xét tứ giác ABFD có

H là trung điểm chung của AF và BD

=>ABFD là hình bình hành

Hình bình hành ABFD có AF\(\perp\)BD

nên ABFD là hình thoi

4:

a: Xét ΔACH vuông tại H và ΔBCA vuông tại A có

góc ACH chung

=>ΔACH đồng dạng với ΔBCA

b: Xét ΔHAB vuông tại H và ΔHCA vuông tại H có

góc HAB=góc HCA

=>ΔHAB đồng dạng với ΔHCA

=>HA/HC=HB/HA

=>HA^2=HB*HC

c: góc EHD=góc EHA+góc DHA

=1/2*góc AHB+1/2*góc AHC=90 độ

góc EAD+góc EHD=180 độ

=>EADH nội tiếp

=>góc AED=góc AHD và góc ADE=góc AHE

mà góc AHD=góc AHE=45 độ

nên góc AED=góc ADE

=>AD=AE

Xét tam giacs ABE và HBD ta có:

Góc BAE = Góc BHD (=90^0)

Góc ABE = Góc HBD (GT)

=> Tam giacs ABE đồng dạng với tam giác HBD

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{HB}=\dfrac{AE}{HD}\)

=> AB.HD = AE.HB