A B H D C K

Tam giác ABC vuông tại A ﴾gt﴿

=> góc BAD + DAC = 90\(^0\)﴾1﴿

Tam giác HAD vuông tại H có:

góc HDA + HAD = 90\(^0\) ﴾2﴿

Mà góc HAD = góc DAC ﴾ vì AD là p/g của HAC ﴿ ﴾3﴿

Từ ﴾1﴿ ﴾2﴿ và ﴾3﴿ => góc BAD = góc BDA => tam giác ABD cân tại B

=> AB=BD﴾ t/c tam giác cân ﴿

Tam giác ABC có AH là đường cao :

AB 2 = BH * BC ﴾ Hệ thức lượng﴿

<=> AB 2 = ﴾ BD‐6﴿ * BC

<=> AB 2 = ﴾AB‐6﴿ * 25

<=> AB 2 ‐25AB + 150 = 0

<=> ﴾ AB‐10﴿ * ﴾AB‐15﴿=0

<=> AB=10 hoặc AB=15

c/m  
=> KD=DH=6 cm
đặt CD =x (x>0)
áp dụng đlý ta lét
 
 
\Rightarrow 

lại có  
\Rightarrow  
\Rightarrow  
\Rightarrow  
Nếu x=15 => AB=10<2DK=12=>loai
nẽu=10=>AB=15 thoa man

Vậy AB=15

 ta có tam giác AHB ~ tam giác CAB. => AH/AC = HB/AB. Lại có AH/AC = DH/DC 
=> DH/DC = HB/AB <=> DH/(DH + DC) = HB/(HB + AB). <=> DH/(BC - HB) = HB/(HB + AB). (1) 
Dễ dàng thấy DH=DK=6. Thay vào (1) ta có 6/(25 - HB) = HB/(HB + AB) (2) 
Lại có tam giác AHC ~ tam giác BAC => AH/AC = BA/BC. <=> DH/DC = BA/BC <=> DH/HC = AB/(BC + AB). => 6/(25 - HB) = AB/(25 + AB). (3). 
Bạn giải ptr (2) và (3) để tìm ra AB. K khó lắm đâu. Cố gắng nốt nha! 

#)Giải :

a)\(\Delta ABC\)vuông tại A (gt) \(\Rightarrow\widehat{BAD}+\widehat{DAC}=90^o\left(1\right)\)

\(\Delta HAD\)vuông tại H (gt)\(\Rightarrow\widehat{HDA}+\widehat{HAD}=90^o\left(2\right)\)

Vì AD là tia phân giác của \(\widehat{HAC}\Rightarrow\)\(\widehat{HAD}=\widehat{DAC}\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{DAC}\)

\(\Rightarrow\Delta ABD\)cân tại A

b) Từ cmt \(\Rightarrow AB=BD\)(tính chất của tam giác cân)

Đặt \(AB=BD=x\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC 

\(\Rightarrow AB^2=HB.HC\)

Hay \(x^2=\left(x-6\right)25\)

\(\Rightarrow x^2-25+150=0\)

\(\Rightarrow\left(x-10\right)\left(x-15\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x-10=0\\x-15=0\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=10\\x=15\end{cases}}}\)

Vậy AB = 10 hoặc AB = 15

AD là phân giác của góc HAC

\(\rightarrow\widehat{HAD}=\widehat{DAK}\)

Xét 2 tam giác vuông HAD và KAD có:

AD chung

\(\widehat{HAD}=\widehat{DAK}\) (cmt)

\(\Rightarrow\Delta HAD=\Delta KAD\left(ch-gn\right)\)

\(\rightarrow HD=DK=6cm\) (2 cạnh tương ứng)

có \(\widehat{ADH}+\widehat{HAD}=90^o\) ; \(\widehat{BAD}+\widehat{DAK}=90^o\)

mà \(\widehat{HAD}=\widehat{DAK}\) \(\rightarrow\widehat{ADH}=\widehat{BAD}\Rightarrow\Delta BAD\) cân tại B

\(\rightarrow BA=BD\)

Đặt BA = BD = x (cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC tại A

\(\Rightarrow AB^2=BH.HC\)

hay \(x^2=\left(x-6\right).25\)

\(\leftrightarrow x^2-25x+150=0\leftrightarrow\left(x-10\right)\left(x-15\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=10\\x=15\end{matrix}\right.\)

Vậy AB = 10cm hoặc AB = 15cm.
Chúc bạn học tốt!

A B C H D K

a: BC=BH+CH=4+3=7(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC=3\cdot4=12\)

=>\(AH=\sqrt{12}=2\sqrt3\) (cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AB^2=BH\cdot BC=3\cdot7=21\)

=>\(AB=\sqrt{21}\) (cm)

b: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

=>\(HA^2=HD^2+HE^2\)

Xét ΔHAB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(DA\cdot DB=HD^2\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(EA\cdot EC=HE^2\)

\(DA\cdot DB+EA\cdot EC\)

\(=HD^2+HE^2=AH^2\)

c: Gọi O là giao điểm của AH và DE

ADHE là hình chữ nhật

=>AH=DE

ADHE là hình chữ nhật

=>AH cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AH và DE

Ta có: \(OA=OH=\frac{AH}{2}\)

\(OD=OE=\frac{DE}{2}\)

mà AH=DE
nên OA=OH=OD=OE

Xét ΔOEK vuông tại E và ΔOHK vuông tại H có

OK chung

OE=OH

Do đó: ΔOEK=ΔOHK

=>KE=KH

=>ΔKHE cân tại K

Ta có: \(\hat{KEH}+\hat{KEC}=\hat{HEC}=90^0\)

\(\hat{KHE}+\hat{KCE}=90^0\) (ΔCKH vuông tại K)

mà \(\hat{KEH}=\hat{KHE}\)

nên \(\hat{KEC}=\hat{KCE}\)

=>KE=KC

=>KH=KC

=>K là trung điểm của CH