a: Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBIC vuông tại I có

\(\hat{ABD}=\hat{IBC}\)

Do đó: ΔBAD~ΔBIC

=>\(\frac{BA}{BI}=\frac{BD}{BC}\)

=>\(BA\cdot BC=BD\cdot BI=BD\left(BD+DI\right)=BD^2+BD\cdot DI\)

=>\(BD^2=BC\cdot BA-DB\cdot DI\)

Xét ΔDAB vuông tại A và ΔDIC vuông tại I có

\(\hat{ADB}=\hat{IDC}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔDAB~ΔDIC

=>\(\frac{DA}{DI}=\frac{DB}{DC}\)

=>\(DA\cdot DC=DI\cdot DB\)

\(BD^2=BC\cdot BA-DB\cdot DI\)

=>\(BD^2=BC\cdot BA-DA\cdot DC\)

b: Xét ΔMBC có

BI,CA là các đường cao

BI cắt CA tại D

Do đó: D là trực tâm của ΔMBC

=>MD⊥BC tại K

Xét ΔDBC có DK là đường cao

nên \(S_{DBC}=\frac12\cdot DK\cdot BC\left(1\right)\)

Xét ΔMBC có MK là đường cao

nên \(S_{MBC}=\frac12\cdot MK\cdot BC\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{S_{DBC}}{S_{MBC}}=\frac{\frac12\cdot DK\cdot BC}{\frac12\cdot MK\cdot BC}=\frac{DK}{MK}\)

Xét ΔDMC có DI là đường cao

nên \(S_{DMC}=\frac12\cdot DI\cdot MC\) (3)

Xét ΔBMC có BI là đường cao

nên \(S_{BMC}=\frac12\cdot BI\cdot MC\) (4)

Từ (3),(4) suy ra \(\frac{S_{DMC}}{S_{BMC}}=\frac{\frac12\cdot DI\cdot MC}{\frac12\cdot BI\cdot MC}=\frac{DI}{BI}\)

Xét ΔDMB có DA là đường cao

nên \(S_{DMB}=\frac12\cdot DA\cdot MB\) (5)

Xét ΔBCM có CA là đường cao

nên \(S_{BCM}=\frac12\cdot CA\cdot BM\) (6)

Từ (5),(6) suy ra \(\frac{S_{DMB}}{S_{BCM}}=\frac{\frac12\cdot DA\cdot BM}{\frac12\cdot CA\cdot BM}=\frac{DA}{CA}\)

\(\frac{DK}{MK}+\frac{DI}{BI}+\frac{DA}{CA}\)

\(=\frac{S_{DMB}+S_{DBC}+S_{DMC}}{S_{BMC}}=1\)

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có

góc B chung

=>ΔABC đồng dạng với ΔHBA

b: ΔABC đồng dạng với ΔHBA

=>BA/BH=BC/BA

=>BA^2=BH*BC

BH=3^2/5=1,8cm

c: BE là phân giác

=>AE/AB=HE/BH

=>AE/5=HE/3=(AE+HE)/(5+3)=0,3

=>AE=1,5cm và HE=0,9cm

xét tam giác ABC và tam giác HBA có

góc BAC=góc AHB=90 độ

góc B chung

suy ra tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA

suy ra AB phần HB = BC phần AB

a: Xét ΔABH vuông tại H và ΔCBA vuông tại A có

góc B chung

=>ΔABH đồng dạng với ΔCBA

=>BA/BC=BH/BA

=>BA^2=BH*BC

b: Xét ΔHAB vuông tại H và ΔHCA vuông tại H có

góc HAB=góc HCA

=>ΔHAB đồng dạng với ΔHCA

=>HA/HC=HB/HA

=>HA^2=HB*HC

c: Xét ΔCAM có

CK,AH là đường cao

CK cắt AH tại I

=>I là trực tâm

=>MI vuông góc AC

=>MI//AB

Xét ΔHAB có

M là trung điểm của HB

MI//AB

=>I là trung điểm của HA

a) Xét ΔABH vuông tại H và ΔCBA vuông tại A có 

\(\widehat{ABH}\) chung

Do đó: ΔABH∼ΔCBA(g-g)

⇒\(\dfrac{AB}{CB}=\dfrac{BH}{BA}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AB^2=BH\cdot BC\)(đpcm)

a: Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBAC vuông tại A có

\(\hat{HBA}\) chung

Do đó: ΔBHA~ΔBAC

=>\(\frac{BH}{BA}=\frac{BA}{BC}\)

=>\(\frac{BA}{BH}=\frac{BC}{BA}\) (3)

=>\(BH\cdot BC=BA^2\)

b: BH+CH=BC

=>BC=4+9=13(cm)

\(AB^2=BH\cdot BC\)

=>\(AB^2=4\cdot13=52\)

=>\(AB=2\sqrt{13}\) (cm)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=13^2-52=117\)

=>\(AC=3\sqrt{13}\) (cm)

c: Xét ΔBHE vuông tại H và ΔBAD vuông tại A có

\(\hat{HBE}=\hat{ABD}\) (BD là phân giác của góc ABC)

Do đó: ΔBHE~ΔBAD

=>\(\frac{S_{BHE}}{S_{BAD}}=\left(\frac{BH}{BA}\right)^2=\left(\frac{4}{2\sqrt{13}}\right)^2=\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right)^2=\frac{4}{13}\)

Xét ΔBAH có BE là phân giác

nên \(\frac{EA}{EH}=\frac{BA}{BH}\left(1\right)\)

Xét ΔBAC có BD là phân giác

nên \(\frac{BC}{BA}=\frac{DC}{DA}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{EA}{EH}=\frac{DC}{DA}\)