Gọi I là trung điểm của BH và K là trung điểm của CH

=>I,K lần lượt là tâm đường tròn đường kính BH và tâm đường tròn đường kính CH

Xét (I) có

ΔHPB nội tiếp

HB là đường kính

Do đó: ΔHPB vuông tại P

=>HP⊥AB tại P

Xét (K) có

ΔCQH nội tiếp

CH là đường kính

Do đó: ΔCQH vuông tại Q

=>HQ⊥AC tại Q

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2;CH\cdot CB=CA^2\)

=>\(\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BH\cdot BC}{CH\cdot BC}=\frac{BH}{CH}\)

Xét ΔHAB vuông tại H có HP là đường cao

nên \(BP\cdot BA=BH^2\)

=>\(BP=\frac{BH^2}{BA}\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HQ là đường cao

nên \(CQ\cdot CA=CH^2\)

=>\(CQ=\frac{CH^2}{CA}\)

\(\frac{BP}{CQ}=\frac{BH^2}{BA}:\frac{CH^2}{CA}\)

\(=\frac{BH^2}{BA}\cdot\frac{CA}{CH^2}=\left(\frac{BH}{CH}\right)^2\cdot\frac{CA}{BA}\)

\(=\left(\frac{AB^2}{AC^2}\right)^2\cdot\frac{AC}{AB}=\frac{AB^4}{AC^4}\cdot\frac{AC}{AB}=\frac{AB^3}{AC^3}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^3\)

a: Gọi O là trung điểm của BC

=>O là tâm đường tròn đường kính BC

Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

=>CE⊥AB tại E

Xét (O) có

ΔBDC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBDC vuông tại D

=>BD⊥AC tại D

Xét ΔABC có

BD,CE là các đường cao

BD cắt CE tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH⊥BC tại F

b: Xét ΔFBH vuông tại F và ΔFAC vuông tại F có

\(\hat{FBH}=\hat{FAC}\left(=90^0-\hat{ACF}\right)\)

Do đó: ΔFBH~ΔFAC

=>\(\frac{FB}{FA}=\frac{FH}{FC}\)

=>\(FB\cdot FC=FH\cdot FA\)