Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC=4\cdot9=36\)

=>AH=6(cm)

Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\)

=>\(AM=\frac{AH^2}{AB}\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AN\cdot AC=AH^2\)

=>\(AN=\frac{AH^2}{AC}\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

Xét tứ giác AMHN có \(\hat{AMH}=\hat{ANH}=\hat{MAN}=90^0\)

nên AMHN là hình chữ nhật

=>\(S_{AMHN}=AM\cdot AN=\frac{AH^2}{AB}\cdot\frac{AH^2}{AC}=\frac{AH^4}{AB\cdot AC}\)

\(=\frac{AH^4}{AH\cdot BC}=\frac{AH^3}{BC}=\frac{6^3}{a}=\frac{216}{a}\)

Gọi O là trung điểm của BC

=>AH<=AO

ΔABC vuông tại A

mà AO là đường trung tuyến

nên BC=2AO

=>BC=2AO>=2AH

Để AMHN có diện tích lớn nhất thì BC nhỏ nhất nhất

mà BC=2AO>=2AH=12(cm)

nên BC=12(cm)

=>\(S_{AMHN}=\frac{216}{12}=18\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

a) Ta có AMN=MAN=ANM=90=>tứ giác AMHN là hình chữ nhật

=>AMN=HAM

Mà HAM=ACB( cùng cộng với ABC=90độ)

=>AMN=ACB

=>tam giác AMN ~ tam giác ACB

=>........................

tối vội tắt chưa giải câu b h giải nha

Ta có AH^2=BH*HC=4

Mà BH+CH=5 

=> BH và CH là nghiệm của pt:

X^2-5x+4=0=>

*BH=...;CH=.... hoặc BH=....;CH=....

Áp dụng Py-ta-go tìm ra AB;AC

Rồi áp dụng hệ thức lượng trong tam giác AHC tìm ra HN và

py ta go với tam giác AHN tìm ra AN

chịu 

xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AB\cdot AC=AH\cdot BC=4\cdot10=40\)

Xét ΔHAB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\)

=>\(AD=\frac{AH^2}{AB}\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\)

=>\(AE=\frac{AH^2}{AC}\)

Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

=>\(S_{ADHE}=AD\cdot AE=\frac{AH^2}{AB}\cdot\frac{AH^2}{AC}\)

\(=\frac{AH^4}{AH\cdot BC}=\frac{AH^3}{BC}=\frac{4^3}{10}=6,4\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Bài 3:

a: Xét ΔABC có \(AB^2+AC^2=BC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot7,5=4,5\cdot6=27\)

=>AH=27/7,5=3,6(cm)

c: Xét ΔABC vuông tại A có HA là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\)

=>\(BH=\frac{6^2}{7,5}=\frac{36}{7,5}=4,8\) (cm)

BH+HC=BC

=>HC=7,5-4,8=2,7(cm)

Bài 4:

a: Xét ΔBIC vuông tại I và ΔDKA vuông tại K có

BC=DA

\(\hat{BCI}=\hat{DAK}\) (hai góc so le trong, BC//DA)

Do đó: ΔBIC=ΔDKA

=>CI=AK

b: ΔBIC=ΔDKA

=>BI=DK

Xét tứ giác BIDK có

BI//DK

BI=DK

Do đó: BIDK là hình bình hành

Bài 1:

Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔACH vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

=>\(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)

Xét ΔAMN và ΔACB có

\(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)

góc MAN chung

Do đó: ΔAMN~ΔACB