a: ΔABC vuông tại A

=>\(BC^2=AB^2+AC^2=9^2+12^2=81+144=225=15^2\)

=>BC=15(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot15=9\cdot12=108\)

=>AH=108/15=7,2(cm)

b:Xét (A) có

CD,CH là các tiếp tuyến

Do đó: CD=CH và AC là phân giác của góc HAD

ΔAHD cân tại A

mà AC là đường phân giác

nên AC⊥HD tại I và I là trung điểm của HD

Xét ΔAHC vuông tại H có HI là đường cao

nên \(IA\cdot IC=IH^2=\left(\frac12DH\right)^2=\frac14DH^2\)

c:

AC là phân giác của góc HAD

=>\(\hat{HAD}=2\cdot\hat{HAC}\)

Ta có: \(\hat{HAD}+\hat{HAE}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(\hat{HAE}=180^0-\hat{HAD}=2\left(90^0-\hat{HAC}\right)=2\cdot\hat{HAB}\)

=>AB là phân giác của góc HAE

Xét ΔAHB và ΔAEB có

AH=AE

\(\hat{HAB}=\hat{EAB}\)

AB chung

Do đo: ΔAHB=ΔAEB

=>\(\hat{AHB}=\hat{AEB}\)

=>\(\hat{AEB}=90^0\)

=>BE là tiếp tuyến tại E của (O)

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{DCA}=\widehat{HCA}\\\widehat{DCA}+\widehat{DAC}=90^0\\\widehat{HCA}+\widehat{HBA}=90^0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\widehat{HBA}=\widehat{DAC}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{DAC}+\widehat{BAE}=90^0\\\widehat{HBA}+\widehat{HAB}=90^0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\widehat{BAE}=\widehat{HAB}\)

Có \(\left\{{}\begin{matrix}AH=AE=R\\\widehat{BAE}=\widehat{HAB}\\\text{AB chung}\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\Delta AHB=\Delta AEB\)

\(\Rightarrow\widehat{E}=\widehat{H}=90^0\Rightarrow BE\) là tiếp tuyến

Sửa đề: Cho ΔABC vuông tại A.

a: Xét (A;AH) có

BD,BH là các tiếp tuyến

Do đó: BD=BH và AB là phân giác của góc HAD

Xét (A;AH) có

CE,CH là các tiếp tuyến

Do đó: CE=CH và AC là phân giác của góc HAE

AB là phân giác của góc HAD

=>\(\hat{HAD}=2\cdot\hat{HAB}\)

AC là phân giác của góc HAE

=>\(\hat{HAE}=2\cdot\hat{HAC}\)

\(\hat{DAE}=\hat{DAH}+\hat{HAE}\)

\(=2\left(\hat{HAB}+\hat{HAC}\right)=2\cdot\hat{BAC}=2\cdot90^0=180^0\)

=>D,A,E thẳng hàng

b: Ta có: D,A,E thẳng hàng

AD=AE

Do đó: A là trung điểm của DE

Gọi M là trung điểm của BC

=>M là tâm đường tròn đường kính BC

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MB=MC

=>A nằm trên (M)

Xét hình thang BDEC có

A,M lần lượt là trung điểm của DE,BC

=>AM là đường trung bình của hình thang BDEC

=>AM//DB//EC

=>AM⊥DE

=>DE là tiếp tuyến tại A của (M)

=>DE là tiếp tuyến tại A của đường tròn đường kính BC

c: Sửa đề: A,I,H,K cùng thuộc một đường tròn

Xét (A) có

ΔHDE nội tiếp

DE là đường kính

Do đó: ΔHDE vuông tại H

Xét tứ giác AIHK có \(\hat{IAK}+\hat{IHK}=90^0+90^0=180^0\)

nên AIHK là tứ giác nội tiếp

=>A,I,H,K cùng thuộc một đường tròn

a: Ta có: ΔCAD cân tại C

mà CB là đường cao

nên CB là phân giác của góc ACD

ΔCAD cân tại C

mà CB là đường cao

nên CB là đường trung trực của AD

b: Xét ΔCAB và ΔCDB có

CA=CD

\(\hat{ACB}=\hat{DCB}\)

CB chung

Do đó: ΔCAB=ΔCDB

=>\(\hat{CAB}=\hat{CDB}\)

=>\(\hat{CDB}=90^0\)

=>BD là tiếp tuyến tại D của (O)

1: BC=5cm

AH=2,4cm

1: BC=5cm

AH=2,4cm

a: ΔCAD cân tại C

mà CH là đường cao

nên CH là phân giác của góc ACD

Xét ΔCAB và ΔCDB có

CA=CD
\(\hat{ACB}=\hat{DCB}\)

CB chung

Do đó: ΔCAB=ΔCDB

=>\(\hat{CAB}=\hat{CDB}\)

=>\(\hat{CDB}=90^0\)

=>BD là tiếp tuyến tại D của (O)

4.1:

a: Ta có: ΔABC vuông tại A

=>\(BC^2=AB^2+AC^2\)

=>\(BC^2=8^2+6^2=100\)

=>\(BC=\sqrt{100}=10\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot10=6\cdot8=48\)

=>AH=48/10=4,8(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(CH\cdot CB=CA^2\)

=>\(CH\cdot10=6^2=36\)

=>CH=36/10=3,6(cm)

4.2:

Ta có: ΔCAD cân tại C

mà CB là đường cao

nên CB là phân giác của góc ACD

Xét ΔCAB và ΔCDB có

CA=CD
\(\widehat{ACB}=\widehat{DCB}\)

CB chung

Do đó: ΔCAB=ΔCDB

=>\(\widehat{CAB}=\widehat{CDB}\)

mà \(\widehat{CAB}=90^0\)

nên \(\widehat{CDB}=90^0\)

=>BD là tiếp tuyến của (C)

4.3:

Xét (C) có

PA,PM là các tiếp tuyến

Do đó: PA=PM

Xét (C) có

QM,QD là các tiếp tuyến

Do đó: QM=QD

Chu vi tam giác BPQ là:

\(C_{BPQ}=BP+PQ+BQ\)

=BP+PM+BQ+QM

=BP+PA+BQ+QD

=BA+BD

=2BA

=2*8=16(cm)

v

v