a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=15^2-9^2=225-81=144=12^2\)

=>AC=12(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có sin B=\(\frac{AC}{BC}=\frac{12}{15}=\frac45\)

nên \(\hat{B}\) ≃53 độ

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot15=9\cdot12=108\)

=>AH=108/15=7,2(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BA^2=BH\cdot BC\)

=>\(BH=\frac{9^2}{15}=\frac{81}{15}=5,4\left(\operatorname{cm}\right)\)

b: Xét tứ giác AMDN có \(\hat{AMD}=\hat{AND}=\hat{MAN}=90^0\)

nên AMDN là hình chữ nhật

Hình chữ nhật AMDN có AD là phân giác của góc MAN

nên AMDN là hình vuông

c: Xét ΔABC vuông tại A có AD là phân giác

nên \(AD=\frac{2\cdot AB\cdot AC}{AB+AC}\cdot cos\left(\frac{BAC}{2}\right)\)

\(=\frac{2\cdot9\cdot12}{9+12}\cdot cos45=\frac{2\cdot108}{21}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{108\sqrt2}{21}=\frac{36\sqrt2}{7}\) (cm)

AMDN là hình vuông

=>AD=MN

=>\(MN=\frac{36\sqrt2}{7}\left(\operatorname{cm}\right)\)

AMDN là hình vuông

=>\(S_{AMDN}=\frac12\cdot AD\cdot MN=\frac12\cdot\frac{36\sqrt2}{7}\cdot\frac{36\sqrt2}{7}=\frac12\cdot\frac{1296\cdot2}{49}=\frac{1296}{49}\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

mình chịu thoiii

Gì nhiều vậy???

Câu 1: 

a: Xét ΔAHB vuông tạiH có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

b: \(BC=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}\left(cm\right)\)

\(AH=\dfrac{4\cdot6}{2\sqrt{13}}=\dfrac{12}{\sqrt{13}}\left(cm\right)\)

\(AE=\dfrac{AH^2}{AC}=\dfrac{144}{13}:6=\dfrac{24}{13}\left(cm\right)\)

BC=BH+CH

=4+9=13(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC=4\cdot9=36=6^2\)

=>AH=6(cm)

Gọi O là giao điểm của AH và DE

Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

=>AH cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AH và DE

Ta có: \(OA=OH=\frac{AH}{2}\)

\(OD=OE=\frac{DE}{2}\)

mà DE=AH

nên OA=OH=OD=OE

Xét ΔOHM vuông tại H và ΔODM vuông tại D có

OM chung

OH=OD

Do đó: ΔOHM=ΔODM

=>MH=MD

=>ΔMHD cân tại M

Ta có: \(\hat{MDH}+\hat{MDB}=\hat{HDB}=90^0\)

\(\hat{MHD}+\hat{MBD}=90^0\) (ΔHDB vuông tại D)

mà \(\hat{MDH}=\hat{MHD}\)

nên \(\hat{MDB}=\hat{MBD}\)

=>MB=MD

mà MH=MD

nên MB=MH

=>M là trung điểm của BH

=>DM=HB/2=4/2=2(cm)

Xét ΔNEO vuông tại E và ΔNHO vuông tại H có

NO chung

OE=OH

Do đó: ΔNEO=ΔNHO

=>NE=NH

=>ΔNEH cân tại N

Ta có: \(\hat{NEH}+\hat{NEC}=\hat{CEH}=90^0\)

\(\hat{NHE}+\hat{NCE}=90^0\) (ΔCEH vuông tại E)

mà \(\hat{NEH}=\hat{NHE}\)

nên \(\hat{NEC}=\hat{NCE}\)

=>NE=NC

mà NE=NH

nên NH=NC

=>N là trung điểm của HC

=>EN=HC/2=9/2=4,5(cm)

Diện tích hình thang MDEN là;

\(S_{MDEN}=\frac12\cdot\left(MD+EN\right)\cdot DE\)

\(=\frac12\cdot\left(4,5+2\right)\cdot6=3\cdot6,5=19,5\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

a.

\(AB^2+AC^2=4,5^2+6^2=56,25\)

\(BC^2=7,5^2=56,25\)

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=BC^2\Rightarrow\Delta ABC\) vuông tại A theo Pitago đảo

b.

Theo định lý phân giác: \(\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow DB=\dfrac{3}{4}DC\)

Mà \(DB+DC=BC=7,5\)

\(\Rightarrow\dfrac{3}{4}DC+DC=7,5\Rightarrow DC=\dfrac{30}{7}\left(cm\right)\)

Do DN và AB cùng vuông góc AC \(\Rightarrow DN||AB\)

Áp dụng định lý Talet:

\(\dfrac{DN}{AB}=\dfrac{DC}{BC}=\dfrac{4}{7}\Rightarrow DN=\dfrac{4}{7}AB=\dfrac{18}{7}\left(cm\right)\)

Tứ giác AMDN là hình chữ nhật (có 3 góc vuông)

Mà AD là đường chéo đồng thời là phân giác theo giả thiết

\(\Rightarrow AMDN\) là hình vuông

\(\Rightarrow S_{AMDN}=DN^2=\dfrac{324}{49}\approx6,6\left(cm^2\right)\)

a: Xét tứ giác ADHE có 

\(\widehat{EAD}=\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=90^0\)

Do đó: ADHE là hình chữ nhật

a: Xét tứ giác ADHE có góc ADH=góc AEH=góc EAD=90 độ

nên ADHE là hình chữ nhật

=>DE=AH=6cm

b: Gọi O là giao của AH và DE

=>O là trung điểm chung của AH và DE
mà AH=DE

nên OA=OH=OD=OE

Ta có: góc OHD+góc MHD=90 độ

góc ODH+góc MDH=90 độ

mà góc OHD=góc ODH

nên góc MHD=góc MDH

=>ΔMHD cân tại M và góc MDB=góc MBD

=>ΔMBD cân tại M

=>MH=MB

=>M là trung điểm của HB

Cm tương tự, ta được N là trung điểm của HC

=>MN=1/2BC

d: \(AD\cdot AB=AH^2\)

\(AE\cdot AC=AH^2\)

Do đó: \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)