a: Xét tứ giác AEDC có \(\hat{AEC}=\hat{ADC}=90^0\)

nên AEDC là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{EDC}+\hat{EAC}=180^0\)

mà \(\hat{EDC}+\hat{BDE}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{BDE}=\hat{BAC}\)

Gọi Bx là tiếp tuyến tại B của (O)

=>Bx⊥OB tại B

Xét (O) có

\(\hat{xBC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Bx và dây cung BC

\(\hat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC

Do đó: \(\hat{xBC}=\hat{BAC}\)

=>\(\hat{xBC}=\hat{BDE}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên DE//Bx

=>DE⊥OB

cho tam giác ABC vuông cân tại B.Trên cạnh BA và BC lấy hai điểm E và F sao cho BE = BF.Qua B và E kẻ đường vuông góc với AF,chúng cắt AC lần lượt ở I và K. EK cắt BC tại H
a)Chứng minh tam giác AHC cân
b)chứng minh I là trung điểm KC
c)Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm EC,AF,EF

a: Gọi O là trung điểm của BC

=>O là tâm đường tròn đường kính BC

Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

=>CE⊥AB tại E và \(\hat{BEC}=90^0\)

Xét (O) có

ΔBFC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBFC vuông tại F

=>BF⊥AC tại F và \(\hat{BFC}=90^0\)

b: Xét ΔABC có

BF,CE là các đường cao

BF cắt CE tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH⊥BC

c: Kẻ OK⊥EF tại K

ΔOEF cân tại O

mà OK là đường cao

nên K là trung điểm của EF

Ta có: OK⊥EF

BM⊥EF

CN⊥EF

DO đó: BM//CN//OK

Xét hình thang BMNC có

O là trung điểm của BC

OK//BM//CN

Do đó: K là trung điểm của MN

Ta có: KE+EM=KM

KF+FN=KN

mà KE=KF và KM=KN

nên EM=FN

chỉnh lại câu 1 tí:

1)
    + Xét tứ giác AEFD :  ADF +AEF = 90 +90 = 180
    Suy ra: Tứ giác AEFD nội tiếp được đường tròn 
    Suy ra:  EAF = EDF hay EAF = EDC
    + Xét tgAEF và tg EDC :  AEF = ECD = 90 VÀ EAF = EDC
    Suy ra: tgAEF ~  tgDCE =>  .AE /AF = CD/DE

2.

Tứ giác AEFD nội tiếp được đường tròn 
=>  EAF = EDF mặt khác  EAF = EDC mặt khác  : EAF + HAG = 90 VÀ EDC + HEG =90
suy ra: HAG = HEG  suy ra tứ giác AEGH nội tiếp được đường tròn =>  HGE = 90 
Vì HGE = HAE = 90 ,suy ra đường tròn này có tâm O là trung điểm của AE.

3.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE chính là đường tròn (O).
    + Xét tam giác HGE :   và OH = OE = 1/2. HE => OH = OE = OG.
    + Xét tg OEK và tg OGK : 
OE = OG ; OK chung ;EK = GK( Vì K thuộc đường trung trực của đoạn thẳng EG)
Suy ra  tgOEK =tg OGK (c – c – c) =>  KGO = KEO = 90 độ
Suy ra: KG vuông góc với OG, vậy KG là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác HAE.(đpcm).