sin B=AH/AB

=>6/AB=sin60

=>\(AB=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)

=>HB=2 căn 3(cm)

=>HC=8 căn 3(cm)

\(S_{AHC}=\dfrac{1}{2}\cdot8\sqrt{3}\cdot6=24\sqrt{3}\left(cm^2\right)\)

ΔAHB vuông tại H

=>\(AH^2+HB^2=AB^2\)

=>\(HB=\sqrt{\left(6\sqrt2\right)^2-6^2}=6\) (cm)

Xét ΔAHB vuông tại H có HA=HB(=6cm)

nên ΔHAB vuông cân tại H

=>\(\hat{HBA}=45^0\)

Xét ΔABC có \(\hat{BAC}+\hat{ABC}+\hat{ACB}=180^0\)

=>\(\hat{ACB}=180^0-100^0-45^0=35^0\)

Xét ΔAHC vuông tại H có

tan C=\(\frac{AH}{HC}\)

=>HC=AH/tan35≃8,57(cm)

BC=BH+CH=6+8,57=14,57(cm)

Diện tích tam giác ABC là:

\(S_{ABC}=\frac12\cdot AH\cdot BC\simeq\frac12\cdot6\cdot14,57=3\cdot14,57=43,71\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

ΔAHC vuông tại H có cos C=\(\frac{CH}{CA}\)

=>CA=CH:cos35≃10,46(cm)

Chu vi tam giác ABC là:

CA+AB+BC≃10,46+14,57+6\(\sqrt2\) ≃33,52(cm)

ΔAHC vuông tại H

=>\(\hat{HAC}+\hat{HCA}=90^0\)

=>\(\hat{HAC}=90^0-35^0=55^0\)

Lời giải:

Vì $AB: AC=3:7$ nên đặt $AB=3a; AC=7a$. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}$

$\frac{1}{42^2}=\frac{1}{(3a)^2}+\frac{1}{(7a)^2}$

$\frac{1}{42^2}=\frac{58}{441a^2}$

$\Rightarrow a=2\sqrt{58}$ (cm) 

$AB=3a=6\sqrt{58}$ (cm)

$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{(6\sqrt{58})^2-42^2}=18$ (cm)

Chu vi $ABH$: $AB+BH+AH=6\sqrt{58}+18+42=60+6\sqrt{58}$ (cm)

$AC=7a=14\sqrt{58}$ (cm)

$HC=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{(14\sqrt{58})^2-42^2}=98$ (cm)

$S_{AHC}=\frac{AH.HC}{2}=\frac{42.98}{2}=2058$ (cm vuông)

Hình vẽ:

sin B=4/5

=>AH/AB=4/5

=>8/AB=4/5

=>AB=10cm

HB=căn 10^2-8^2=6cm

=>BC=10^2/6=50/3(cm)

S ABC=1/2*8*50/3=4*50/3=200/3cm²

sai r á bạn, tại nó dư AH

ò