hình bạn tự vẽ nhé

ta có bc=6 nên thep py ta go ta có \(ac^2=bc^2-ab^2=27=>ac=3\sqrt{3}\)

áp dụng hệ thức lượng ta có

\(AB^2=BH.BC=>BH=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)

=>HC=\(\frac{9}{2}\)

TA CÓ \(AH^2=HB.HC=\frac{27}{4}=>AH=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

c, trên bc ta lấy m là trung điiểm bc

ta có \(AH^2=AE.AB=>AE=\frac{AH^2}{AB}\)

\(AH^2=AF.AC=>AF=\frac{AH^2}{AC}\)

\(SAFHE=AE.AF=\frac{AH^4}{AC.AB}=\frac{AH^3}{BC}< =\frac{AM^3}{BC}=\frac{AM^2}{2}=\frac{9}{2}\)

DẤU "=" XẢY RA KHI H TRÙNG VỚI M

a: \(AB=\sqrt{3\cdot15}=3\sqrt{5}\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{12\cdot15}=6\sqrt{5}\left(cm\right)\)

b: \(\dfrac{HF}{HE}=\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AH^2}{AB}:\dfrac{AH^2}{AC}=\dfrac{AC}{AB}=2\)

=>HF=2HE

1: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=6^2-3^2=36-9=27\)

=>\(AC=3\sqrt3\) (cm)

Xét ΔABC vuông tại A có sin C=\(\frac{AB}{BC}=\frac36=\frac12\)

nên \(\hat{ACB}=30^0\)

ΔABC vuông tại A

=>\(\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)

=>\(\hat{ABC}=90^0-30^0=60^0\)

2:

a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH=\frac{3\cdot3\sqrt3}{6}=\frac{3\sqrt3}{2}\) (cm)

Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}=\hat{AFH}=\hat{FAE}=90^0\)

nên AEHF là hình chữ nhật

=>\(EF=AH=\frac{3\sqrt3}{2}\) (cm)

b: Xét ΔHAB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(EA\cdot EB=HE^2\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HF là đường cao

nên \(FA\cdot FC=HF^2\)

\(EA\cdot EB+FA\cdot FC\)

\(=HE^2+HF^2\)

\(=HA^2=\frac{27}{4}\) (cm)

a: ΔABC vuông tại A

=>\(BC^2=AB^2+AC^2\)

=>\(BC=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot10=6\cdot8=48\)

=>AH=4,8cm

Xét ΔABC vuông tại A có \(sinACB=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{3}{5}\)

=>\(\widehat{ACB}\simeq36^052'\)

b: ΔHAB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

ΔHAC vuông tại H có HF là đường cao

nên \(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

=>\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)

Xét ΔAEF vuông tại A và ΔACB vuông tại A có

\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)

Do đó: ΔAEF đồng dạng với ΔACB

=>\(\widehat{AFE}=\widehat{ABC}\)

ta có

\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)

\(a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

Ta có AH²=CH.BH=ab (1)

Gọi M là trung điểm của BC.

Xét tam giác AHM vuông tại H có AM là cạnh huyền --> AH\(\le\)AM (2)

Mà \(AM=\frac{BC}{2}=\frac{a+b}{2}\)(3)

Từ (1), (2) và (3) \(\Rightarrow a.b\le\frac{a+b}{2}\)