Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: D đối xứng H qua AB
=>AB là đường trung trực của DH
=>AD=AH và BD=BH
E đối xứng H qua AC
=>AC là đường trung trực của EH
=>AE=AH và CE=CH
Xét ΔAHB và ΔADB có
AH=AD
BH=BD
AB chung
Do đó: ΔAHB=ΔADB
=>\(\hat{HAB}=\hat{DAB}\)
=>AB là phân giác của góc HAD
=>\(\hat{HAD}=2\cdot\hat{HAB}\)
Xét ΔAHC và ΔAEC có
AH=AE
CH=CE
AC chung
Do đó: ΔAHC=ΔAEC
=>\(\hat{HAC}=\hat{EAC}\)
=>AC là phân giác của góc EAH
=>\(\hat{HAE}=2\cdot\hat{HAC}\)
\(\hat{DAE}=\hat{DAH}+\hat{EAH}\)
\(=2\left(\hat{HAB}+\hat{HAC}\right)=2\cdot\hat{BAC}=180^0\)
=>D,A,E thẳng hàng
AD=AH
AE=AH
Do đó: AD=AE
=>A là trung điểm của DE
b: ΔAHB=ΔADB
=>\(\hat{AHB}=\hat{ADB}\)
=>\(\hat{ADB}=90^0\)
=>BD⊥ DE tại D(1)
ΔAHC=ΔAEC
=>\(\hat{AHC}=\hat{AEC}\)
=>\(\hat{AEC}=90^0\)
=>CE⊥ ED tại E(2)
Từ (1),(2) suy ra BD//CE
Xét tứ giác BDEC có BD//CE và BD⊥ DE
nên BDEC là hình thang vuông
c: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH^2=HB\cdot HC\)
=>\(AH^2=2\cdot8=16=4^2\)
=>AH=4(cm)
Chu vi hình thang BDEC là:
BD+DE+CE+BC
=BH+CH+BC+DE
=BC+BC+2AH
=2BC+2AH
=2(BC+AH)=2(HB+HC+AH)=2(2+8+4)=2*14=28(cm)
A B C M H F D K I G
Câu a và b cô hướng dẫn:
a) Tứ giác ADHE có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
b) Tứ giác FDEA là hình bình hành nên AF // DE
c) Xét tam giác AFH có AD là đường cao đồng thời trung tuyến nên nó là tam giác cân.
Vậy thì AD là tia phân giác hay \(\widehat{FAD}=\widehat{DAH}\)
Do tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm BC nên MA = MB = MC hay \(\widehat{BAM}=\widehat{ABM}\)
Vậy thì \(\widehat{FAD}+\widehat{BAM}=\widehat{DAH}+\widehat{ABM}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{FAM}=90^o\)
Vậy tam giác AFM vuông.
c) Gọi giao điểm của AM và DE là G.
Do FA // DE mà AM vuông góc FA nên AM vuông góc DE.
Vậy thì ta có ngay AFDE là hình chữ nhật.
Suy ra KG giao AD tại trung điểm mỗi đường hay I cũng là trung điểm KG.
Vậy thì AM, DE và KI đồng quy tại điểm G.
Bài 1 :
B A C H K E D M N
a) Ta có : \(\hept{\begin{cases}AM=MB\\AN=NC\end{cases}\Rightarrow}\)MN là đường trung bình tam giác ABC \(\Rightarrow MN\text{//}BC\) hay \(MN\text{//}HK\left(1\right)\)
Dễ thấy MNKB là hình bình hành => \(\widehat{MNK}=\widehat{ABC}=\widehat{MHB}\)(Vì tam giác AHB vuông có HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền.) . Mặt khác : \(\widehat{MNK}=\widehat{CKN}\)(hai góc ở vị trí so le trong)
=> \(\widehat{MHB}=\widehat{CKN}\). Mà hai góc này lần lượt bù với \(\widehat{MHK}\)và \(\widehat{HKN}\)=> \(\widehat{MHK}=\widehat{HKN}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra MNKH là hình thang cân.
b) Dễ thấy HK là đường trung bình tam giác AED => HK // ED hay BC // ED (3)
Tương tự , MH và NK lần lượt là các đường trung bình của các tam giác ABE và ACD
=> BE = 2MH ; CD = 2NK mà MH = NK (MNKH là hình thang cân - câu a)
=> BE = CD (4)
Từ (3) và (4) suy ra BCDE là hình thang cân.
A B C D E N M P
Bài 2 :
a) Ta có : \(\widehat{BAD}=\widehat{CAE}=90^o\Rightarrow\widehat{BAD}+\widehat{DAE}=\widehat{CAE}+\widehat{DAE}\Rightarrow\widehat{BAE}=\widehat{CAD}\)
Xét tam giác BAE và tam giác CAD có : \(AB=AD\left(gt\right)\); \(AC=AE\left(gt\right)\) ; \(\widehat{BAE}=\widehat{CAD}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta BAE=\Delta CAD\left(c.g.c\right)\Rightarrow CD=BE\)
b) Dễ dàng chứng minh được MP và PN lần lượt là các đường trung bình của các tam giác ACD và tam giác BEC
=> MP = 1/2CD ; PN = 1/2 BE mà CD = BE => MP = PN => tam giác MNP cân tại P
Để chứng minh góc MPN = 90 độ , hãy chứng minh BE vuông góc với CD.
Hình bạn tự vẽ nhé
a, Ta có: D đối xứng với H qua AB \(\Rightarrow\)AB là đường trung trực mà A \(\in\)AB \(\Rightarrow AD=AH\)(1)
Tương tự ta có: \(AH=AE\)(2)
Từ (1), (2) \(\Rightarrow AD=AE\)
\(\Delta ADH\)có: \(AD=AH\left(cmt\right)\Rightarrow\Delta ADH\)cân tại A có AB là đường trung trực \(\Rightarrow\)AB là phân giác của \(\widehat{DAH}\)\(\Rightarrow\widehat{DAB}=\widehat{BAH}\)
Chứng minh tương tự với \(\Delta AHE\)\(\Rightarrow\)AC là phân giác của \(\widehat{HAE}\)\(\Rightarrow\widehat{HAC}=\widehat{CAE}\)
\(\Delta ABC\)có: \(\widehat{BAH}+\widehat{HAC}=90^o\)
Ta có: \(\widehat{DAB}+\widehat{BAH}+\widehat{HAC}+\widehat{CAE}=\widehat{DAE}\)
hay \(2\widehat{BAH}+2\widehat{HAC}=\widehat{DAE}\)
\(2\left(\widehat{BAH}+\widehat{HAC}\right)=\widehat{DAE}\)
\(2.90^o=\widehat{DAE}=180^o\)
\(\Rightarrow\)D, A, E thẳng hàng
mà \(AD=AE\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\)A là trung điểm của DE
b, Ta có: AB là đường trung trực mà B \(\in\)AB \(\Rightarrow BD=BH\)
Tương tự ta có: \(CH=CE\)
Xét \(\Delta ADB\)và \(\Delta AHB\)có:
AB chung
\(AD=AH\left(cmt\right)\)
\(DB=BH\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta ADB=\Delta AHB\left(c-c-c\right)\)\(\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{ADB}=90^o\Rightarrow BD\perp DE\)
Chứng minh tương tự ta có: \(\Delta AHC=\Delta AEC\left(c-c-c\right)\)\(\Rightarrow\widehat{AHC}=\widehat{AEC}=90^o\Rightarrow EC\perp DE\)
Ta có: \(BD\perp DE\left(cmt\right)\)
\(EC\perp DE\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow BD//EC\)
Tứ giác BDEC có: \(BD//EC\left(cmt\right)\)\(\Rightarrow\)BDEC là hình thang có \(\widehat{BDE}=\widehat{DEC}=90^o\Rightarrow\)BDEC là hình thang vuông
a) Vì HD vuông góc với AB
=> HDB = HDA = 90 độ
Mà BAC = 90 độ (gt)
=> BAC = BDH = 90 độ
Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị
=> DH //AE
=> DHEA là hình thang
Mà HE vuông góc với AC
=> HEA = 90 độ
=> HEA = BAC = 90 độ
=> DHEA là hình thang cân
=> DE = AH ( hình thang cân hai đường chéo bằng nhau)
=> dpcm
a: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)
nên ADHE là hình chữ nhật
=>AH=DE
Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBAC vuông tại A có
\(\hat{HBA}\) chung
Do đó: ΔBHA~ΔBAC
=>\(\frac{BA}{BC}=\frac{AH}{AC}\)
=>\(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)
b: ΔHDB vuông tại D
mà DM là đường trung tuyến
nên MH=MD
=>ΔMHD cân tại M
=>\(\hat{MDH}=\hat{MHD}\)
mà \(\hat{MHD}=\hat{HCA}=\hat{ACB}\) (hai góc đồng vị, DH//AC)
nên \(\hat{MDH}=\hat{ACB}\)
ADHE là hình chữ nhật
=>\(\hat{EDH}=\hat{EAH}=\hat{HAC}\)
Ta có; ΔCEH vuông tại E
mà EN là đường trung tuyến
nên NE=NH
=>ΔNEH cân tại N
=>\(\hat{NEH}=\hat{NHE}\)
mà \(\hat{NHE}=\hat{ABC}\) (hai góc đồng vị, HE//BA)
nên \(\hat{NEH}=\hat{ABC}\)
ADHE là hình chữ nhật
=>\(\hat{DEH}=\hat{DAH}=\hat{HAB}\)
\(\hat{EDM}=\hat{EDH}+\hat{MDH}\)
\(=\hat{HAC}+\hat{HCA}=90^0\)
=>ED⊥ DM tại D(1)
\(\hat{NED}=\hat{NEH}+\hat{DEH}\)
\(=\hat{HAB}+\hat{HBA}=90^0\)
=>NE⊥ ED (2)
Từ (1),(2) suy ra DM//NE
=>DMNE là hình thang
Hình thang DMNE có DE⊥ DM
nên DMNE là hình thang vuông