Ta có: BC=BH+CH

nên BC=10+42=52cm

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được: 

\(\left\{{}\begin{matrix}AH^2=HB\cdot HC\\AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=2\sqrt{105}cm\\AB=2\sqrt{130}cm\\AC=2\sqrt{546}cm\end{matrix}\right.\)

\(BC=BH+CH=52\left(cm\right)\)

\(AH=\sqrt{BH.CH}=2\sqrt{105}\) (cm)

\(AB^2=BH.BC\Rightarrow AB=\sqrt{BH.BC}=2\sqrt{130}\left(cm\right)\)

\(AC^2=CH.BC\Rightarrow AC=\sqrt{CH.BC}=2\sqrt{546}\left(cm\right)\)

BC=BH+CH=10+42=52(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC=10\cdot42=420\)

=>\(AH=\sqrt{420}=2\sqrt{105}\) (cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BA^2=BH\cdot BC=10\cdot52=520\)

=>\(BA=2\sqrt{130}\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(CA^2=CH\cdot CB=42\cdot52=21\cdot104=21\cdot26\cdot4=4\cdot546\)

=>\(CA=2\sqrt{546}\left(\operatorname{cm}\right)\)

Bài 1:

BC=BH+CH=10+42=52(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC=10\cdot42=420\)

=>\(AH=\sqrt{420}=2\sqrt{105}\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AB^2=BH\cdot BC=10\cdot52=520\)

=>\(AB=\sqrt{520}=2\sqrt{130}\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AC^2=CH\cdot CB=42\cdot52=4\cdot13\cdot42=4\cdot546\)

=>\(AC=2\sqrt{546}\left(\operatorname{cm}\right)\)

Bài 2:

a: Kẻ DH⊥AB tại H và CK⊥AB tại K

Xét tứ giác DCKH có

DC//KH

DH//CK

Do đó: DCKH là hình bình hành

=>DC=HK

=>HK=10(cm)

Xét ΔDHA vuông tại H và ΔCKB vuông tại K có

DA=CB

\(\hat{DAH}=\hat{CBK}\)

Do đó: ΔDHA=ΔCKB

=>AH=KB

AH+KB+HK=AB

=>AH+KB=30-10=20(cm)

mà AH=KB

nên AH=KB=20/2=10(cm)

Xét ΔDHA vuông tại H có cos A=\(\frac{AH}{AD}\)

=>\(\frac{10}{AD}=cos60=\frac12\)

=>AD=20(cm)

ABCD là hình thang cân

=>BC=AD

=>BC=20(cm)

b: Ta có: MH+HA=MA

MK+KB=MB

mà HA=KB và MA=MB

nên MH=MK

=>M là trung điểm của HK

Ta có: ΔDHA vuông tại H

=>\(DH^2+HA^2=DA^2\)

=>\(DH^2=20^2-10^2=400-100=300\)

=>\(DH=10\sqrt3\) (cm)

Ta có: \(DN=\frac{DC}{2}\)

\(HM=\frac{HK}{2}\)

mà DC=HK

nên DN=HM

Xét tứ giác DNMH có

DN//MH

DN=MH

Do đó: DNMH là hình bình hành

=>\(MN=DH=10\sqrt3\) (cm)

VÌ AM LÀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN ỨNG VỚI CẠNH HUYỀN

SUY RA AM=1/2*BC=1/2*10=5 CM

XÉT TAM GIÁC AHM VUÔNG TẠI H[VÌ AH LÀ ĐƯỜNG CAO]

SUY RA MH^2=AM^2-AH^2[PI TA GO]

MH^2=5^2-4,8^2

MH^2=1,96

MH=1,4

LẠI CÓ

BH=BM+MH=1/2*BC+1,4=5+1,4=6,4[CM]

TA CÓ:

CH=CM-MH=1/2BC-MH=5-1,4=3,6

TAM GIÁC ABH

AB^2=BH^2+AH^2

SUY RA AB^2=6,4^2+4,8^2=64          AB=8[CM]

TAM GIÁC ABC

AC^2=BC^2-AB^2

AC^2=10^2-8^2=36                    AC=6[CM]

Xét ΔABC vuông tại A(gt)

=>\(BC^2=AB^2+AC^2\)(theo định lý ptago)

=>\(BC^2=10^2+8^2=164\)

=>\(BC\approx12,8\)

Áp dụng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền ta có:

\(AB^2=BH\cdot BC\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{8^2}{12,8}=5\)

\(AC^2=HC\cdot BC\Rightarrow HC=\frac{AC^2}{BC}=\frac{10^2}{12,8}\approx7,8\)

Áp dụng hệ thức liên quan tới đường cao ta có:

\(AH^2=BH\cdot CH=5\cdot7,8=39\)

\(\Rightarrow AH\approx6,2\)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=10^2-6^2=100-36=64=8^2\)

=>AC=8(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot10=6\cdot8=48\)

=>AH=48/10=4,8(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AB^2=BH\cdot BC\)

=>\(BH=\frac{6^2}{10}=3,6\left(\operatorname{cm}\right)\)

BH+HC=BC

=>HC=10-3,6=6,4(cm)

a) Các hệ thức giữa cạnh và đường cao AH:

\(AH^2=BH.CH\)

\(AB^2=BH.BC\)

\(AC^2=CH.BC\)

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)

\(AH.BC=AB.AC\)

b) Áp dụng HTL trong tam giác ABC vuông tại A có đg cao AH:

\(AH.BC=AB.AC\)

\(\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{6.8}{10}=4,8\left(cm\right)\)

Ta có: \(AB^2=BH.BC\)

\(\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{6^2}{10}=3,6\left(cm\right)\)

\(BC=CH+BH\)

\(\Rightarrow CH=BC-BH=10-3,6=6,4\left(cm\right)\)