a, xét \(\Delta ABC\) vuông tại A áp dụng hệ thức lượng\(=>AC^2=CH.BC=>HC=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{12^2}{15}=9,6cm\)

\(=>HB=BC-HC=15-9,6=5,4cm\)

áp dụng Pytago trong \(\Delta AHC\) vuông tại H

\(=>HA=\sqrt{AC^2-HC^2}=\sqrt{12^2-9,6^2}=7,2cm\)

\(b,\) do E,F là hình  chiếu vuông góc của H lần lượt lên AB, AC

\(=>\left\{{}\begin{matrix}EH\perp AB\\HF\perp AC\end{matrix}\right.\) mà \(\Delta AHB\) và \(\Delta AHC\) lần lượt vuông góc tại H

theo hệ thức lượng

\(=>\left\{{}\begin{matrix}AH^2=AE.AB\\AH^2=AF.AC\end{matrix}\right.\)=>\(AE.AB=AF.AC\)

c, do E,F là hình  chiếu vuông góc của H lần lượt lên AB, AC

=> tứ giác EHFA là hình chữ nhật\(=>AE=HF< =>HF^2=AE^2\)

áp dụng pytago trong \(\Delta EHA\) vuông tại E

\(=>HE^2+AE^2=AH^2< =>HE^2+HF^2=AH^2\)(1)

theo hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A đường cao AH

\(=>AH^2=HB.HC\left(2\right)\)

(1)(2)=>\(HE^2+HF^2=HB.HC\)

mình chịu thoiii

Gì nhiều vậy???

A B C H E F

a/ Ta có : \(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}\)

Áp dụng hệ thức trong tam giác vuông : \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{9}+\frac{1}{27}=\frac{4}{27}\Rightarrow AH^2=\frac{27}{4}\Rightarrow AH=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

b/ Dễ dàng chứng minh được AEHF là hình chữ nhật vì góc AFH = góc EAF = góc HEA = 90 độ

=> AH = EF

c/ \(EA.EB=HE^2\) ; \(AF.FC=HF^2\)

\(\Rightarrow EA.EB+AF.FC=HE^2+HF^2=EF^2=AH^2=\frac{27}{4}\)

đáp án đây

a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC;AB^2=BH\cdot BC;AC^2=CH\cdot CB\) ; \(AB\cdot AC=AH\cdot BC\)

Xét ΔBHA vuông tại H có HE là đường cao

nên \(BE\cdot BA=BH^2\)

=>\(BE=\frac{BH^2}{BA}\)

Xét ΔCHA vuông tại H có HF là đường cao

nên \(CF\cdot CA=CH^2\)

=>\(CF=\frac{CH^2}{CA}\)

\(BE\cdot CF=\frac{BH^2}{BA}\cdot\frac{CH^2}{AC}=\frac{\left(BH\cdot CH\right)^2}{AB\cdot AC}\)

\(=\frac{AH^4}{AH\cdot BC}=\frac{AH^3}{BC}\)

\(\frac{AH^2}{BE\cdot CF}\)

\(=AH^2:\frac{AH^3}{BC}=\frac{BC}{AH}\)

\(\frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AB}\)

\(=\frac{AB^2+AC^2}{AB\cdot AC}\)

\(=\frac{BC^2}{BC\cdot AH}=\frac{BC}{AH}\)

Do đó: \(\frac{AH^2}{BE\cdot CF}=\frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AB}\)

b:

Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}=\hat{AFH}=\hat{FAE}=90^0\)

nên AEHF là hình chữ nhật

=>FE=AH

AEHF là hình chữ nhật

=>\(\hat{AFE}=\hat{AHE}\)

mà \(\hat{AHE}=\hat{ABC}\left(=90^0-\hat{HAB}\right)\)

nên \(\hat{AFE}=\hat{ABC}\)

ΔABC vuông tại A

mà AO là đường trung tuyến

nên OA=OC=OB

OA=OC

=>ΔOAC cân tại O

=>\(\hat{OAC}=\hat{OCA}\)

\(\hat{AFE}+\hat{OAC}=\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)

=>AO⊥ FE tại I

Xét ΔAFE vuông tại A có AI là đường cao

nên \(AI\cdot EF=AE\cdot AF\)

=>\(AI\cdot EF=\frac{AH^2}{AB}\cdot\frac{AH^2}{AC}=\frac{AH^4}{AB\cdot AC}=\frac{AH^4}{AH\cdot BC}=\frac{AH^3}{BC}\)

=>\(AI=\frac{AH^2}{BC}\)

\(\frac{AI}{HB}+\frac{AI}{HC}=AI\left(\frac{1}{HB}+\frac{1}{HC}\right)\)

\(=AI\cdot\frac{HB+HC}{HB\cdot HC}=\frac{AI\cdot BC}{AH^2}=\frac{AI\cdot BC}{EF^2}\)

\(=\frac{AH^2}{BC}\cdot\frac{BC}{EF^2}=\frac{AH^2}{EF^2}=1\)

1: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=6^2-3^2=36-9=27\)

=>\(AC=3\sqrt3\) (cm)

Xét ΔABC vuông tại A có sin C=\(\frac{AB}{BC}=\frac36=\frac12\)

nên \(\hat{ACB}=30^0\)

ΔABC vuông tại A

=>\(\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)

=>\(\hat{ABC}=90^0-30^0=60^0\)

2:

a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH=\frac{3\cdot3\sqrt3}{6}=\frac{3\sqrt3}{2}\) (cm)

Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}=\hat{AFH}=\hat{FAE}=90^0\)

nên AEHF là hình chữ nhật

=>\(EF=AH=\frac{3\sqrt3}{2}\) (cm)

b: Xét ΔHAB vuông tại H có HE là đường cao

nên \(EA\cdot EB=HE^2\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HF là đường cao

nên \(FA\cdot FC=HF^2\)

\(EA\cdot EB+FA\cdot FC\)

\(=HE^2+HF^2\)

\(=HA^2=\frac{27}{4}\) (cm)

a: Xét ΔABC có \(AB^2+AC^2=BC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot10=6\cdot8=48\)

=>AH=48/10=4,8(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(CH\cdot CB=CA^2\)

=>CH=8^2/10=6,4(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có sin B=AC/BC=8/10=4/5

nên \(\hat{B}\) ≃53 độ

c: Xét ΔBEH vuông tại E và ΔBAC vuông tại A có

\(\hat{EBH}\) chung

Do đó: ΔBEH~ΔBAC

=>\(\frac{BE}{BA}=\frac{BH}{BC}\)

=>\(BE\cdot BC=BH\cdot BA\)

\(BE\cdot BC=\frac{BA^2}{BC}\cdot BA=\frac{BA^3}{BC}\)

=>\(BE=\frac{BA^3}{BC^2}\)

=>\(BE^2=\frac{BA^6}{BC^4}=\frac{BH^3\cdot BC^3}{BC^4}=\frac{BH^3}{BC}\)

=>\(BH^3=BE^2\cdot BC\)