b) Ta có: HB+HC=BC(H nằm giữa B và C)

nên BC=4+9=13(cm)

Xét ΔBAC có AH là đường cao ứng với cạnh CB(gt)

nên \(S_{ABC}=\dfrac{AH\cdot BC}{2}=\dfrac{6\cdot13}{2}=39\left(cm^2\right)\)

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔBAC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AH^2=HB\cdot HC\)

\(\Leftrightarrow AH^2=4\cdot9=36\)

hay AH=6(cm)

Vậy: Độ dài đường cao là AH=6cm

tự vẽ hình 

ta có <HBA+<BAH= 90\(^0\)(vì tam giác ABH vg tại H)

Có <BAH+ <HAC= 90\(^0\)(vì tam giác ABC vg tại A)

=> <HBA=<HAC 

Xét tam giác BAH và ACH

<BHA=<AHC\(\left(90^0\right)\)

<ABH=<HAC

=> Tam giác BAH đồng dạng với tam giác ACH

=> BH/AH=AH/CH=> AH^2= BH*CH=4*9=36 cm 

b, ta có BC=BH+CH=4+9=13 cm 

S(ABC) = AH*BC=36*13=468 cm\(^2\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AB^2=BH\cdot BC\)

\(\Leftrightarrow AB^2=4\cdot9=36\)

hay AB=6(cm)

Vậy: AB=6cm

$\angle BAC=\angle BHA=90^\circ$

$\angle ABC=\angle HBA$

$\Rightarrow\triangle ABC\sim\triangle HBA$ (g.g).

Suy ra:

$\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{AB}{BH}$

$\Rightarrow AB^2=BH\cdot BC$.

$BC=BH+HC=4+9=13$

$AB^2=BH\cdot BC=4\cdot13=52$

$\Rightarrow AB=2\sqrt{13}\text{ cm}$.

Từ các tam giác đồng dạng:

$AH^2=BH\cdot HC=4\cdot9=36$

$\Rightarrow AH=6\text{ cm}$.

Ta có:

$AD=AH\cos\angle BAH$

Mà từ các hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$AD=HC=9\text{ cm}$

Tương tự:

$AE=BH=4\text{ cm}$.

Vì $\angle DAE=90^\circ$ nên:

$DE^2=AD^2+AE^2$

$=9^2+4^2$

$=97$

$\Rightarrow DE=\sqrt{97}\text{ cm}$.

Ta có:

$AD=HC,\quad AE=BH$

$AB^2=BH\cdot BC$

$AC^2=HC\cdot BC$

$\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\sqrt{\frac{BH}{HC}}$

Mặt khác:

$\frac{AD}{AE}=\frac{HC}{BH}$.

Cách nhanh hơn, dùng $AB=2\sqrt{13}, AC=3\sqrt{13}$:

$AD\cdot AB=9\cdot2\sqrt{13}=18\sqrt{13}$

$AE\cdot AC=4\cdot3\sqrt{13}=12\sqrt{13}$

Hai vế không bằng nhau, nên với dữ kiện câu b thì mệnh đề c như đề ghi không đúng.

Có khả năng đề bài bị nhầm vị trí $D,E$ hoặc câu c có điều kiện khác. Bạn kiểm tra lại đề nhé

Với câu d, nếu dùng đúng cách xác định $D,E$ như đề thì đặt:

$BH=m,\quad HC=n$

Khi đó:

$AD=HC=n,\quad AE=BH=m$

$S_{ADE}=\frac12mn$

Mặt khác:

$S_{ABC}=\frac12AB\cdot AC$

$AB=\sqrt{m(m+n)},\quad AC=\sqrt{n(m+n)}$

$\Rightarrow S_{ABC}=\frac12(m+n)\sqrt{mn}$

Do đó:

$S_{BDEC}=S_{ABC}-S_{ADE}$.

Điều kiện:

$S_{ADE}=\frac13S_{BDEC}$

$\Rightarrow4S_{ADE}=S_{ABC}$

$\Rightarrow2mn=(m+n)\sqrt{mn}$

$\Rightarrow2\sqrt{mn}=m+n$

Theo bất đẳng thức:

$m+n\ge2\sqrt{mn}$

Dấu bằng xảy ra khi:

$m=n$

$\Rightarrow BH=HC$

$\Rightarrow AB=AC$.

Vậy tam giác $ABC$ phải là tam giác vuông cân tại $A$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A

Ta có:

Vậy S A B C   =   1 2 A B . A C   =   1 2 . 2 13   . 3 13 =   39 c m 2

Chọn đáp án A.

a)  Xét   \(\Delta HAC\)và   \(\Delta HBA\)  có:

\(\widehat{AHC}=\widehat{BHA}=90^0\)

\(\widehat{HAC}=\widehat{HBA}\)  cùng phụ với  \(\widehat{HAB}\)

suy ra:    \(\Delta HAC~\Delta HBA\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{AH}{HB}=\frac{HC}{AH}\)

\(\Rightarrow\)\(AH^2=HB.HC\)