Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Gọi M là trung điểm của BC
Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)
nên ADHE là hình chữ nhật
=>AH=DE
ΔABC vuông tại A
mà AM là đường trung tuyến
nên \(AM=\frac{BC}{2}=a\)
ΔAHM vuông tại H
=>AH<=AM
=>DE<=AM
Dấu '=' xảy ra khi H trùng với M
=>H là trung điểm của BC
Vậy; \(DE_{\max}=AM=a\)
b: Xét ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao
nên \(AD\cdot AB=AH^2\)
=>\(AD=\frac{AH^2}{AB}\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao
nên \(AE\cdot AC=AH^2\)
=>\(AE=\frac{AH^2}{AC}\)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AB\cdot AC=AH\cdot BC\)
ADHE là hình chữ nhật
=>\(S_{ADHE}=AD\cdot AE=\frac{AH^2}{AB}\cdot\frac{AH^2}{AC}=\frac{AH^4}{AB\cdot AC}=\frac{AH^4}{AH\cdot BC}=\frac{AH^3}{BC}=\frac{AH^3}{2a}\)
=>\(S_{ADHE}\) lớn nhất khi AH lớn nhất
mà AH<=a
nên \(S_{ADHE\left(max\right)}=\frac{a^3}{2a}=\frac{a^2}{2}\)
Tứ giác ADHE có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật
Suy ra: AH = DE (tính chất hình chữ nhật)
Tam giác ABC vuông tại A và có AH là đường cao
Theo hệ thức giữa đường cao và hình chiếu ta có:
A H 2 = HB.HC = 4.9 = 36 ⇒ AH = 6 (cm)
Vậy DE = 6 (cm)
Câu 1:
a: Xét ΔAHB vuông tạiH có HD là đường cao
nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao
nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)
b: \(BC=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}\left(cm\right)\)
\(AH=\dfrac{4\cdot6}{2\sqrt{13}}=\dfrac{12}{\sqrt{13}}\left(cm\right)\)
\(AE=\dfrac{AH^2}{AC}=\dfrac{144}{13}:6=\dfrac{24}{13}\left(cm\right)\)
Ta thấy ngay DE = AH do EHDA là hình chữ nhật.
Gọi độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là x và y, khi đó ta có: \(AH=\frac{xy}{2a}\le\frac{x^2+y^2}{4a}=\frac{4a^2}{4a}=a\)
Vậy độ dài lớn nhất của DE là a, khi tam giác ABC vuông cân tại A.