a)Ta có 

BK=KC (GT)

AK=KD( Đối xứng)

suy ra tứ giác ABDC là hình bình hành (1)

mà góc A = 90 độ (2)

từ 1 và 2 suy ra tứ giác ABDC là hình chữ nhật

b) ta có

BI=IA

EI=IK

suy ra tứ giác AKBE là hình bình hành (1)

ta lại có 

BC=AD ( tứ giác ABDC là hình chữ nhật)

mà BK=KC

      AK=KD

suy ra BK=AK (2)

Từ 1 và 2 suy ra tứ giác AKBE là hình thoi

c) ta có

BI=IA

BK=KC

suy ra IK là đường trung bình

suy ra IK//AC

          IK=1/2AC

mà IK=1/2EK

Suy ra EK//AC 

           EK=AC

Suy ra tứ giác  AKBE là hình bình hành

B A C D E K

gọi N là trung điểm BH

xét tam giác HBA có:

M là trung điểm AH

N là trung điểm BH

=> MN là đường trung bình của tam giác HBA

=> MN//AB

mà AB⊥AC

=> MN⊥AC

xét tam giác ANC có:

AH⊥NC

NM⊥AC

=> M là trực tâm của tam giác ANC

=> CM⊥AN(1)

xét tam giác BKH có:

A là trung điểm BK

N là trung điểm BH

=> AN là đường trung bình trong tam giác BKH

=> AN//HK(2)

từ(1)(2)=> CM⊥HK(đpcm)

a: Xét tứ giác ADHE có 

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

Do đó: ADHE là hình chữ nhật

b: Xét tứ giác ADEN có 

NE//AD
NE=AD
Do đó: ADEN là hình bình hành

a: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

b: ADHE là hình chữ nhật

=>AE//HD và AE=HD

AE//HD

=>AE//DF

AE=HD

HD=DF

Do đó: AE=DF

Xét tứ giác AEDF có

AE//DF

AE=DF

Do đó; AEDF là hình bình hành

c: Sửa đề: Chứng minh AM⊥ED

ADHE là hình chữ nhật

=>\(\hat{AED}=\hat{AHD}\)

mà \(\hat{AHD}=\hat{ABC}\left(=90^0-\hat{HAB}\right)\)

nên \(\hat{AED}=\hat{ABC}\)

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MC

=>ΔMAC cân tại M

=>\(\hat{MAC}=\hat{MCA}\)

\(\hat{MAC}+\hat{AED}=\hat{MCA}+\hat{MBA}=90^0\)

=>DE⊥AM

a: Sửa đề: AC=HK

Xét ΔIAC và ΔIKH có

IA=IK

\(\hat{AIC}=\hat{KIH}\) (hai góc đối đỉnh)

IC=IH

Do đó: ΔIAC=ΔIKH

=>AC=KH

b: Xét tứ giác AMHN có \(\hat{AMH}=\hat{ANH}=\hat{MAN}=90^0\)

nên AMHN là hình chữ nhật

=>AH cắt MN tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AH và MN

Xét ΔCAH có

CO,AI là các đường trung tuyến

CO cắt AI tại D

Do đó: Dlà trọng tâm của ΔCAH

Xét ΔAKC có

I là trung điểm của AK

IE//CK

Do đó: E là trung điểm của AC

Xét ΔCAH có

D là trọng tâm

E là trung điểm của AC

Do đó: H,D,E thẳng hàng

a: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

=>AH=DE

b: ADHE là hình chữ nhật

=>HD//AE và HD=AE

HD//AE
=>HD//EI

HD=AE

AE=EI

Do đó: HD=EI

Xét tứ giác HDEI có

HD//EI

HD=EI

Do đó: HDEI là hình bình hành

c: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=15^2+20^2=225+400=625=25^2\)

=>BC=25(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot25=15\cdot20=300\)

=>AH=300/25=12(cm)

d: Gọi O là giao điểm của AH và DE

ADHE là hình chữ nhật

=>AH cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AH và DE

Ta có: \(OA=OH=\frac{AH}{2}\)

\(OD=OE=\frac{DE}{2}\)

mà AH=DE

nên OA=OH=OD=OE

ΔHDB vuông tại D

mà DF là đường trung tuyến

nên FD=FH

ΔHEC vuông tại E

mà EG là đường trung tuyến

nên GE=GH

Xét ΔGEO và ΔGHO có

GE=GH

OE=OH

GO chung

Do đó: ΔGEO=ΔGHO

=>\(\hat{GEO}=\hat{GHO}\)

=>\(\hat{GEO}=90^0\)

=>GE⊥ ED tại E

Xét ΔOHF và ΔODF có

OH=OD

HF=DF

OF chung

Do đó:ΔOHF=ΔODF

=>\(\hat{OHF}=\hat{ODF}\)

=>\(\hat{ODF}=90^0\)

=>DF⊥ DE
mà EG⊥ ED

nên DF//EG