Tam giác ABC vuông tại A áp dụng đính lý cạnh góc vuông và hình chiếu ta có::

\(AB^2=BC\cdot HB=BC\cdot\left(BC-HC\right)\)

\(\Rightarrow20^2=BC^2-BC\cdot9\)

\(\Rightarrow BC^2-9BC-400=0\)

\(\Rightarrow BC^2+16BC-25BC-400=0\)

\(\Rightarrow BC\left(BC+16\right)-25\left(BC+16\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(BC+16\right)\left(BC-25\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}BC+16=0\\BC-25=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}BC=-16\left(ktm\right)\\BC=25\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Áp dụng hệ thức đường cao và hình chiếu ta có:

\(AH^2=HC\cdot HB\Rightarrow AH=\sqrt{HC\cdot\left(BC-HC\right)}\)

\(\Rightarrow AH=\sqrt{9\cdot\left(25-9\right)}=12\left(cm\right)\)

Diện tích của tam giác ABC là:
\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot AH=\dfrac{1}{2}\cdot25\cdot12=150\left(cm^2\right)\)

N là trung điểm của BC

=>\(BN=NC=\frac{BC}{2}\)

=>\(S_{ANB}=S_{ANC}=\frac12\cdot S_{ABC}=\frac12\cdot100=50\left(\operatorname{m}^2\right)\)

Ta có: M là trung điểm của AB

=>\(BM=\frac12\cdot BA\)

=>\(S_{BMN}=\frac12\cdot S_{ANB}=\frac12\cdot50=25\left(\operatorname{m}^2\right)\)

Ta có: P là trung điểm của AC

=>\(CP=\frac12CA\)

=>\(S_{CPN}=\frac12\cdot S_{CNA}=\frac12\cdot50=25\left(m^2\right)\)

Ta có: P là trung điểm của AC

=>\(AP=\frac12AC\)

=>\(S_{BPA}=\frac12\cdot S_{BAC}=\frac12\cdot100=50\left(m^2\right)\)

Ta có: M là trung điểm của AB

=>\(S_{AMP}=\frac12\cdot S_{APB}=\frac12\cdot50=25\left(m^2\right)\)

Ta có: \(S_{AMP}+S_{BMN}+S_{CPN}+S_{MNP}=S_{ABC}\)

=>\(S_{MNP}=100-25-25-25=25\left(m^2\right)\)

Kẻ đường cao AH (H thuộc BC) => BH/CH=9/16

=> BH=[5:(9+16)]x9=1,8 cm => CH=5-1,8=3,2 cm

\(AH^2=BH.CH=1,8.3,2=5,76\Rightarrow AH=2,4cm\)

\(S_{ABC}=\frac{BC.AH}{2}=\frac{5.2,4}{2}=6cm^2\)