Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có $M$ là trung điểm của $BC$ và $D$ thuộc tia đối của tia $MA$ sao cho $DM=MA$.
Suy ra $M$ là trung điểm của $AD$.
Do đó trong tứ giác $ABDC$, hai đường chéo $AD$ và $BC$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên:
$ABDC$ là hình bình hành.
Mà $\widehat{BAC}=90^\circ$ nên:
$ABDC$ là hình chữ nhật.
Suy ra: $CD\parallel AB$ và $CD=AB$.
Vì $AB\perp AC$ nên:
$\boxed{CD\perp AC}$.
Lại có $AH\perp BC$ tại $H$ và $E$ thuộc tia đối của tia $HA$ sao cho $HE=HA$.
Suy ra $H$ là trung điểm của $AE$.
Trong tam giác vuông $ABC$, $H$ là chân đường cao nên:
$AH^2=BH\cdot HC$.
Mặt khác: $AE=2AH$.
Ta có: $CE^2=CH^2+HE^2=CH^2+AH^2$$=CH^2+BH\cdot HC$$=CH(BH+HC)$$=CH\cdot BC$.
Mà: $AC^2=CH\cdot BC$.
Suy ra: $CE^2=AC^2$.
Do đó: $\boxed{CE=AC}$.
Từ trên có: $CD=AB,\ CE=AC$.
Mà tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên:
$BC^2=AB^2+AC^2$.
Suy ra: $BC^2=CD^2+CE^2$.
Theo định lí đảo Py-ta-go trong tam giác $DCE$:
$\widehat{DCE}=90^\circ$.
Hay: $CD\perp CE$.
Mà $CD\perp AC$ nên: $CE\parallel AC$.
Từ đó: $\widehat{CAE}=\widehat{AEC}$.
Do $CE=AC$ nên: $\boxed{\widehat{CAE}=\widehat{AEC}}$.
Xét tam giác $ADE$.
Ta có $M$ là trung điểm của $AD$ và $H$ là trung điểm của $AE$.
Trong tam giác $DAE$: $MH\parallel DE$.
Mà $M,H\in BC$ nên: $MH\subset BC$.
Suy ra: $DE\parallel BC$.
Lại có: $AE\perp BC$.
Do đó: $\boxed{AE\perp ED}$.
a) Ta có: AC vừa là trung tuyến vừa là đường cao của tam giác CBD
=> Tam giác CDB cân tại C
b) Ta có: AM song song với BC(gt) và A là trung điểm của DB
=> M cũng là trung điểm của CD (Định lý về đường trung bình)
c) M là trung điểm của CD (theo câu b) và N là trung điểm của CB(gt)
=> MN là đường trung bình của tam giác CBD => MN // DB
\(4.\)- Vì \(\Delta CBD\)cân tại \(C\)(cmt) \(\Rightarrow\) \(CA\)là tia phân giác \(\widehat{BCD}\)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{BCD}=2.\widehat{BCA}=2.30^0=60^0\)
- Xét \(\Delta BCA\)vuông tại \(A\) \(\Rightarrow\) \(\widehat{ABC}+\widehat{BCA}=90^0\)
\(\Rightarrow\)\(\widehat{ABC}=90^0-\widehat{BCA}=90^0-30^0=60^0\)
- Xét \(\Delta CBD\)có \(\widehat{BCD}=60^0;\)\(\widehat{ABC}=60^0\) \(\Rightarrow\) \(\Delta CBD\)đều
- Xét \(\Delta CBD\)đều có:
\(\cdot\) \(M\)là trung điểm của \(DC\) (cmt) suy ra \(BM\) là đường trung tuyến của \(DC\)
\(\cdot\) \(A\) là trung điểm của \(DB\) (gt) suy ra \(CA\) là đường trung tuyến của \(DB\)
mà \(BM\)cắt \(CA\) tại \(G\) (gt) suy ra \(G\)là trọng tâm của \(\Delta CBD\)
nên \(BG=2.GM=2.3=6\left(cm\right)\)
- Vì \(\Delta CBD\)đều nên \(BM=CA\)suy ra \(GA=GM=3cm\)
- Xét \(\Delta ABG\) vuông tại \(A\)theo định lý Py-ta-go,
ta được: \(AB^2=BG^2-AG^2=6^2-3^2=27\)(cm)
\(\Rightarrow\) \(AB=\sqrt{27}\)
Xét \(\Delta BCD\)ta có:
CA là đường trung tuyến ( A là trung điểm của DB)
BM là đường trung tuyến ( M là trung điểm của CD)
BM cắt CA tại G (gt)
\(\Rightarrow\)G là trọng tâm của \(\Delta BCD\)
\(\Rightarrow MG=\frac{1}{3}BM\)
\(\Rightarrow BM=3MG=3\cdot3=9\left(cm\right)\)
Xét \(\Delta ABC\)vuông tại A ta có:
\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^o\)
\(\widehat{ABC}+30^o=90^o\)
\(\widehat{ABC}=90^o-30^o=60^o\)
Mà \(\Delta BCD\)cân tại C ( cmt)
Nên \(\Delta BCD\)đều
Mặt khác BM là đường trung tuyến ( M là trung điểm của CD)
\(\Rightarrow\)BM là đường cao của \(\Delta BCD\)
\(\Rightarrow BM⊥CD\)tại M
\(\Rightarrow\Delta BMD\)vuông tại M
\(\Rightarrow BD^2=DM^2+BM^2\)( ĐL Py - ta - go thuận)
\(\Rightarrow DM^2-BD^2+9^2=0\)
Ta có:
\(\hept{\begin{cases}DM^2-BD^2+81=O\left(cmt\right)\\DM=\frac{1}{2}CD\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{1}{2}CD\right)^2-BD^2+81=0\)
Mà CD = BD ( \(\Delta BCD\)đều)
Nên \(\frac{1}{4}BD^2-BD^2+81=0\)
\(-\frac{3}{4}BD^2+81=0\)
\(BD^2=81\cdot\frac{4}{3}=108\)
\(BD=\sqrt{108}\left(cm\right)\)
Ta có:
\(AB=\frac{BD}{2}\)( A là trung điểm của DB)
\(AB=\frac{\sqrt{108}}{2}\)