a: Xét ΔADH vuông tại D và ΔAHB vuông tại H có

\(\hat{DAH}\) chung

Do đó: ΔADH~ΔAHB

=>\(\frac{AD}{AH}=\frac{AH}{AB}\)

=>\(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAEH vuông tại E và ΔAHC vuông tại H có

\(\hat{EAH}\) chung

Do đó: ΔAEH~ΔAHC

=>\(\frac{AE}{AH}=\frac{AH}{AC}\)

=>\(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

=>\(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)

Xét ΔADE vuông tại A và ΔACB vuông tại A có

\(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)

Do đó: ΔADE~ΔACB

b: ΔADE~ΔACB

=>\(\hat{AED}=\hat{ABC}\)

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MC=MB

MA=MC

=>ΔMAC cân tại M

=>\(\hat{MAC}=\hat{MCA}\)

\(\hat{AED}+\hat{MAC}=\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)

=>AM⊥DE

$\angle BAC=\angle BHA=90^\circ$

$\angle ABC=\angle HBA$

$\Rightarrow\triangle ABC\sim\triangle HBA$ (g.g).

Suy ra:

$\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{AB}{BH}$

$\Rightarrow AB^2=BH\cdot BC$.

$BC=BH+HC=4+9=13$

$AB^2=BH\cdot BC=4\cdot13=52$

$\Rightarrow AB=2\sqrt{13}\text{ cm}$.

Từ các tam giác đồng dạng:

$AH^2=BH\cdot HC=4\cdot9=36$

$\Rightarrow AH=6\text{ cm}$.

Ta có:

$AD=AH\cos\angle BAH$

Mà từ các hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$AD=HC=9\text{ cm}$

Tương tự:

$AE=BH=4\text{ cm}$.

Vì $\angle DAE=90^\circ$ nên:

$DE^2=AD^2+AE^2$

$=9^2+4^2$

$=97$

$\Rightarrow DE=\sqrt{97}\text{ cm}$.

Ta có:

$AD=HC,\quad AE=BH$

$AB^2=BH\cdot BC$

$AC^2=HC\cdot BC$

$\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\sqrt{\frac{BH}{HC}}$

Mặt khác:

$\frac{AD}{AE}=\frac{HC}{BH}$.

Cách nhanh hơn, dùng $AB=2\sqrt{13}, AC=3\sqrt{13}$:

$AD\cdot AB=9\cdot2\sqrt{13}=18\sqrt{13}$

$AE\cdot AC=4\cdot3\sqrt{13}=12\sqrt{13}$

Hai vế không bằng nhau, nên với dữ kiện câu b thì mệnh đề c như đề ghi không đúng.

Có khả năng đề bài bị nhầm vị trí $D,E$ hoặc câu c có điều kiện khác. Bạn kiểm tra lại đề nhé

Với câu d, nếu dùng đúng cách xác định $D,E$ như đề thì đặt:

$BH=m,\quad HC=n$

Khi đó:

$AD=HC=n,\quad AE=BH=m$

$S_{ADE}=\frac12mn$

Mặt khác:

$S_{ABC}=\frac12AB\cdot AC$

$AB=\sqrt{m(m+n)},\quad AC=\sqrt{n(m+n)}$

$\Rightarrow S_{ABC}=\frac12(m+n)\sqrt{mn}$

Do đó:

$S_{BDEC}=S_{ABC}-S_{ADE}$.

Điều kiện:

$S_{ADE}=\frac13S_{BDEC}$

$\Rightarrow4S_{ADE}=S_{ABC}$

$\Rightarrow2mn=(m+n)\sqrt{mn}$

$\Rightarrow2\sqrt{mn}=m+n$

Theo bất đẳng thức:

$m+n\ge2\sqrt{mn}$

Dấu bằng xảy ra khi:

$m=n$

$\Rightarrow BH=HC$

$\Rightarrow AB=AC$.

Vậy tam giác $ABC$ phải là tam giác vuông cân tại $A$.

a: Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{EAD}=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật

b: Vì ADHE là hình chữ nhật

nên AH=DE(1)

Xét ΔAHM vuông tại H có AM là cạnh huyền

nên AH<=AM(2)

Từ (1) và (2) suy ra DE<=AM

Dấu '=' xảy ra khi H trùng với M

c: AEHD là hình chữ nhật

=>\(\widehat{AED}=\widehat{AHD}\)

mà \(\widehat{AHD}=\widehat{B}\left(=90^0-\widehat{ACB}\right)\)

nên \(\widehat{AED}=\widehat{B}\)

Ta có: ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MC=MB

Ta có: MA=MC

=>ΔMAC cân tại M

=>\(\widehat{MAC}=\widehat{MCA}\)

Ta có: \(\widehat{AED}+\widehat{MAC}\)

\(=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}\)

\(=90^0\)

=>DE\(\perp\)AM

B A C E M H D

a, Xét \(\Delta ABC\left(\perp A\right)\) và \(\Delta HBA\left(\perp H\right)\) có \(\widehat{B}\) chung

b,\(\Delta ABC\sim\Delta HBA\) theo a

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{HB}=\dfrac{BC}{AB}\Leftrightarrow AB^2=HB.BC\)

                                     \(=4.\left(4+9\right)\)

\(\Rightarrow AB=2\sqrt{13}\) (cm)

Áp dụng định lí py-ta-go trong \(\Delta ABH\):

\(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=6\left(cm\right)\)

Vì \(AH=DE=6cm\)

c, Xét \(\Delta HBA\left(\perp H\right)\) và \(\Delta DHA\left(\perp D\right)\) có \(\widehat{A}\) chung

\(\Rightarrow\Delta HBA\sim\Delta DHA\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AD}{AH}=\dfrac{AH}{AB}\Rightarrow AD.AB=AH^2\) \(\left(1\right)\)

Tương tự \(\Delta EHA\sim\Delta HCA\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AE}{AH}=\dfrac{AH}{AC}\Rightarrow AE.AC=AH^2\) \(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) \(\Rightarrow AD.AB=AE.AC\)

-Chúc bạn học tốt-

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có 

\(\widehat{ABC}\) chung

Do đó: ΔABC\(\sim\)ΔHBA

b: XétΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=BH\cdot CH\)

c: Vì \(AH^2=BH\cdot CH=4\cdot16=64\left(cm\right)\)

nên AH=8cm

Xét tứ giác ADHE có 

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

Do đó: ADHE là hình chữ nhật

Suy ra: AH=DE=8(cm)

a, Xét tam giác ABC và tam giác HBA ta có : 

^BAC = ^BHA = 90⁰

^B _ chung 

Vậy tam giác ABC ~ tam giác HBA ( g.g ) 

b, Xét tam giác ABH và tam giác CAH ta có : 

^AHB = ^CHA = 90⁰

^ABH = ^CAH ( cùng phụ ^BAC ) 

Vậy tam giác ABH~ tam giác CAH (g.g )

=> AH/CH=BH/AH => AH^2 = CH.BH 

c, Ta có : AH = 2 . 4 = 8 cm 

Xét tứ giác ADHE có : 

^A = ^ADH = ^AEH = 90⁰ 

Vậy tứ giác ADHE là hcn 

=> AH = DE = 8 cm 

d, Ta có : \(\dfrac{S_{AMH}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{AH}{AC}\right)^2\)

Xét tam giác AHC và tam giác ABC 

^AHC = ^BAC = 90⁰

^HAC = ^B ( cùng phụ ^BAM ) 

Vậy tam giác AHC ~ tam giác BAC ( g.g)

=> AC / BC = HC/AC => AC^2 = HC ( HB + HC ) 

=> AC = 4 . 5 = 20 cm 

Thay vào ta được : \(\left(\dfrac{AH}{AC}\right)^2=\left(\dfrac{8}{20}\right)^2=\dfrac{64}{400}=\dfrac{4}{25}\)

a: Xét tứ giác ADHE có 

\(\widehat{EAD}=\widehat{AEH}=\widehat{ADH}=90^0\)

Do đó: ADHE là hình chữ nhật