1: MC=2MB

MC+MB=BC

Do đó: BC=2MB+BM=3BM

=>\(BM=\frac13BC\)

\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\)

\(=\overrightarrow{AB}+\frac13\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac13\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac23\cdot\overrightarrow{AB}+\frac13\cdot\overrightarrow{AC}\)

\(=\frac13\left(2\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

2: Xét ΔMAC có MD là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{MD}=\frac12\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right)=\frac12\left(\frac23\overrightarrow{AB}+\frac13\cdot\overrightarrow{AC}+\frac23\cdot\overrightarrow{BC}\right)\)

\(=\frac12\left(\frac23\overrightarrow{AC}+\frac13\cdot\overrightarrow{AC}\right)=\frac12\cdot\overrightarrow{AC}=\frac12\left(-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)\)

3: \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+\frac12\cdot\overrightarrow{BD}\)

\(=\overrightarrow{AB}+\frac14\cdot\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)=\frac34\cdot\overrightarrow{AB}+\frac14\cdot\overrightarrow{BC}\)

\(=\frac34\cdot\overrightarrow{AB}+\frac14\cdot\overrightarrow{BA}+\frac14\cdot\overrightarrow{AC}=\frac12\cdot\overrightarrow{AB}+\frac14\cdot\overrightarrow{AC}\)

\(=\frac14\left(2\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

=>\(\frac{\overrightarrow{AE}}{\overrightarrow{AM}}=\frac14:\frac13=\frac34\)

=>A,E,M thẳng hàng

a: vecto AB=(-7;1)

vecto AC=(1;-3)

vecto BC=(8;-4)

b: \(AB=\sqrt{\left(-7\right)^2+1^2}=5\sqrt{2}\)

\(AC=\sqrt{1^2+\left(-3\right)^2}=\sqrt{10}\)

\(BC=\sqrt{8^2+\left(-4\right)^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\)

Bài 1: Xét ΔABC vuông tại A có cos B=\(\frac{BA}{BC}\)

=>\(\frac{a}{BC}=cos60=\frac12\)

=>BC=2a

Gọi M là trung điểm của BC

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên \(AM=\frac{BC}{2}=a\)

Xét ΔABC có AM là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\cdot\overrightarrow{AM}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=2\cdot AM=2a\)

\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|=CB=2a\)

Bài 2:

a: ABCD là hình vuông cạnh a

=>AB=BC=CD=DA=a

ΔABC vuông tại B

=>\(BA^2+BC^2=AC^2\)

=>\(AC^2=a^2+a^2=2a^2\)

=>\(AC=a\sqrt2\)

\(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right|=BC=a\)

b: ABCD là hình vuông

=>\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=AC=a\sqrt2\)

c: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right|=AC=a\sqrt2\)

Lời giải:

$|\overrightarrow{BC}|=BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{(3a)^2+(4a)^2}=5a$ theo định lý Pitago.