Đặt BC = a, CA = b, AB = c.

Do tam giác ABC vuông tại A nên: \(a^2=b^2+c^2\) (định lý Pytago).

Ta tính được: \(m=\dfrac{a+c-b}{2};n=\dfrac{c+b-a}{2}\).

Từ đó: \(mn=\dfrac{\left(a+c-b\right)\left(c+b-a\right)}{4}=\dfrac{c^2-\left(a-b\right)^2}{4}=\dfrac{\left(a^2+b^2\right)-\left(a-b\right)^2}{4}=\dfrac{ab}{2}=S_{ABC}\).

Vậy...

Gọi I là giao điểm của AN và CB

Xét ΔBMA vuông tại M và ΔBMD vuông tại M có

BM chung

\(\hat{MBA}=\hat{MBD}\)

Do đó: ΔBMA=ΔBMD

=>BA=BD và MA=MD

MA=MD

=>M là trung điểm của AD

BA=BD

=>BD=12(cm)

Xét ΔCNA vuông tại N và ΔCNI vuông tại N có

CN chung

\(\hat{NCA}=\hat{NCI}\)

Do đó: ΔCNA=ΔCNI

=>CA=CI và NA=NI

NA=NI nên N là trung điểm của AI

CA=CI

=>CI=15(cm)

CI+IB=CB

=>IB=18-15=3(cm)

BD+DC=BC

=>DC=BC-BD=BC-BA=18-12=6(cm)

BI+ID+DC=BC

=>ID=18-3-6=9(cm)

Xét ΔAID có

M,N lần lượt là trung điểm của AD,AI

=>MN là đường trung bình của ΔAID

=>\(MN=\frac{DI}{2}=\frac92=4,5\left(\operatorname{cm}\right)\)

A B C N M E F G H I K

a) Kéo dài các tia AN; AE; AM; AF cho chúng cắt đường thẳng BC theo thứ tự tại các điểm G;H;I;K.

Xét \(\Delta\)ABI có: BM  là phân giác ^ABI và BM vuông góc AI (tại M) => \(\Delta\)ABI cân tại B

=> BM đồng thời là đường trung tuyến \(\Delta\)ABI => M là trung điểm AI

C/m tương tự, ta có: N;E;F lần lượt là trung điểm của AG;AH;AK

Xét \(\Delta\)GAH: N là trung điểm AG; E là trung điểm AH => NE là đường trung bình \(\Delta\)GAH

=> NE // GH hay NE // BC (1)

Tương tự: MF // BC (2);  NF // BC (3)

Từ (1); (2) và (3) => 4 điểm M;N;E;F thẳng hàng (Theo tiên đề Ơ-clit) (đpcm).

b) Theo câu a ta có: NF là đường trung bình \(\Delta\)AGK => \(NF=\frac{GK}{2}=\frac{BG+BC+CK}{2}\)(*)

Lại có: \(\Delta\)ABG cân ở B; \(\Delta\)ACK cân ở C (câu a) nên BG = AB; CK = AC

Thế vào (*) thì được: \(NF=\frac{AB+BC+AC}{2}\),

KL: ...

cho tam giác ABC vuông tại A,có ABcho tam giác ABC vuông tại A,có AB<AC.Gọi M và n lần lượt là hình chiếu của D trên AB và AC,BN cắt CM tại K,AK cắt Dm tại I,BN cắt DM tại E ,CM cắt DN tại F.a) chứng minh EF song song BC b) C/m K là trực tâm tam giác AEFc) tính góc BID

ĐS: chiu thúa