Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
a: Xét tứ giác BFEC có
\(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)
Do đó: BFEC là tứ giác nội tiếp
c: Xét (O) có
ΔACD nội tiếp
AD là đường kính
Do đó: ΔACD vuông tại C
Xét (O) có
ΔABD nội tiếp
AD là đường kính
Do đó: ΔABD vuông tại B
Xét tứ giác BICD có
BI//CD(cùng vuông góc với AC)
CI//BD(cùng vuông góc với AB)
Do đó: BICD là hình bình hành
Bài 2:
a: Xét (O) có
MN=EF
OH là khoảng cách từ O đến dây MN
OK là khoảng cách từ O đến dây EF
Do đó: OH=OK
Xét ΔAHO vuông tại H và ΔAKO vuông tại K có
AO chung
OH=OK
Do đó: ΔAHO=ΔAKO
Suy ra: AH=AK
b: Xét ΔOHM vuông tại H và ΔOKE vuông tại K có
OM=OE
OH=OK
Do đó: ΔOHM=ΔOKE
Suy ra: HM=KE
Ta có: AM+MH=AH
AE+EK=AK
mà AH=AK
và HM=KE
nên AM=AE
b/ Gọi G là giao điểm của AB và DF
Ta có :
Góc ACQ = góc AHQ ( t/g ACHQ n.t )
Góc ACQ = góc ADF ( 2 góc n.t chắn cung AF )
=> Góc AHQ = góc ADF
Mà 2 góc ở vị trí đồng vị
Nên \(HQ//DF\)
Mặc khác \(HQ\perp AB\)tại Q
=> \(DF\perp AB\)tại G
Xét tứ giác GBNF ta có:\(B\widehat{G}F+B\widehat{N}F=180^0\)
=> Tứ giác GBNF nội tiếp =>\(N\widehat{G}F=N\widehat{B}F\)
Mà \(N\widehat{B}F=C\widehat{A}F\)( tứ giác ACBF n.t (O))
Nên \(N\widehat{G}F=C\widehat{A}F\left(1\right)\)
Xét tứ giác GMAF ta có: \(A\widehat{M}F=A\widehat{G}F\left(=90^0\right)\)
=> Tứ giác GMAF n.t =>\(M\widehat{A}F+M\widehat{G}F=180^0\left(2\right)\)
(1) và (2) => \(N\widehat{G}F+M\widehat{G}F=180^0\)
=> \(\overline{M,G,N}\)
Mà G là giao điểm của AB và DF
Nên MN,AB,DF đồng quy tại G
MN là đường thẳng simson nha bạn
a) Ta có \(IM//AE\)suy ra \(\widehat{MIH}=\widehat{EAH}\). Mà \(\widehat{EAH}=\widehat{ECH}\)nên \(\widehat{MIH}=\widehat{MCH}\). Suy ra tứ giác CIMH nội tiếp.
Dễ dàng chỉ ra được ED là tiếp tuyến của \(\left(O\right)\)suy ra \(\widehat{HED}=\widehat{HCE}\)\(\left(1\right)\)
Do tứ giác CIMH nội tiếp nên \(\widehat{CHM}=90^0\)suy ra \(\widehat{HCM}+\widehat{HMC}=90^0\)
Mà \(\widehat{HMD}+\widehat{HMC}=90^0\)nên \(\widehat{HCM}=\widehat{HMD}\)\(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\)suy ra \(\widehat{HED}=\widehat{HMD}\)nên tứ giác EMHD nội tiếp. Do đó \(\widehat{HDM}=\widehat{HEM}\)mà \(\widehat{HEM}=\widehat{HCD}\)nên \(\widehat{HDM}=\widehat{HCD}\)
Từ đó chứng minh được BD là tiếp tuyến của \(\left(O_1\right)\)
b) Sử dụng tính chất đường nối tâm vuông góc với dây chung ta có: \(OO_2\perp HE,O_2O_1\perp HD\)và do \(EH\perp HD\)suy ra \(OO_2\perp O_2O_1\)
Dễ thấy \(\widehat{COM}=45^0\)suy ra \(\widehat{CAE}=45^0\)nên \(\widehat{O_2OO_1}=45^0\). \(\Delta O_2OO_1\)vuông cân tại \(O_2\)
Tứ giác OCDE là hình vuông cạnh R và \(O_2\) là trung điểm của DE nên ta tính được \(O_2O^2=\frac{5R^2}{4}\)
.Vậy diện tích \(\Delta O_2OO_1\) là\(\frac{5R^2}{8}\)
A B C O O' H P M E F G I K Q T S A 0 R
a) Gọi O' là đối xứng của O qua B ta có O'B=R (không đổi). Dựng đường tròn (O',R) thì (O') cố định.
Ta sẽ chứng minh M thuộc (O'). Thật vậy:
Xét \(\Delta\)ABO và \(\Delta\)MBO' có: ^ABO = ^MBO' (Đối đỉnh); BO=BO'; BA=BM => \(\Delta\)ABO = \(\Delta\)MBO' (c.g.c)
=> OA = O'M (2 cạnh tương ứng). Mà OA = R nên O'M = R => M thuộc đường tròn (O';R)
Vậy M luôn nằm trên (O';R) cố định (đpcm).
b) Lấy T là trung điểm đoạn AH. Kẻ đường kính FR của (O). Gọi EF cắt AG tại K.
Dễ thấy IT là đường trung bình trong \(\Delta\)AHC => IT // AC => IT vuông góc AB (Do ^BAC=900)
Xét \(\Delta\)BAI: AH vuông góc BI; IT vuông góc AB (cmt), T thuộc AH => T là trực tâm \(\Delta\)BAI
=> BT vuông góc AI. Xét \(\Delta\)MAH: T trung điểm AH, B trung điểm AM => BT // MH
Do đó: AI vuông góc MH hay AG vuông góc EF tại K. Áp dụng ĐL Pytagore:
\(AF^2+FG^2+GE^2+EA^2=2\left(KA^2+KF^2+KG^2+KE^2\right)=2\left(AF^2+GE^2\right)\)(*)
Ta có EF vuông góc ER và EF vuông góc AG => AG // ER => Tứ giác AERG là hình thang cân => GE = AR
Từ đó (*) trở thành: \(AF^2+FG^2+GE^2+EA^2=2\left(AF^2+AR^2\right)=2\left(2R\right)^2=8R^2=const\)
Vậy biểu thức trên có giá trị ko đổi khi A di chuyển (đpcm).
c) Kẻ HQ vuông góc cạnh AC. Gọi S là tâm ngoại tiếp \(\Delta\)BCP. Gọi bán kính đường rtonf (BCP) là R0
Ta có: AP.AB = AQ.AC (=AH2) (Theo hệ thức lượng) => Tứ giác BPQC nội tiếp hoặc Q nằm trên (BCP)
=> S nằm trên trung trực của PQ. Dễ có T là trung điểm PQ (Vì tứ giác APHQ là hcn)
Nên ST vuông góc PQ tại T. Theo ĐL Pytagore (cho \(\Delta\)PTS) có: \(R_0=SP=\sqrt{PT^2+ST^2}\)(1)
Mặt khác: ^OAC = ^OCA = ^APQ => OA vuông góc PQ. Mà ST vuông góc PQ => OA // ST
Kết hợp với AT // OS (Cùng vuông góc BC) => Tứ giác ATSO là hbh => ST = OA = R (2)
Từ (1) và (2) => \(R_0=\sqrt{PT^2+R^2}=\sqrt{\frac{AH^2}{4}+R^2}\)(Vì PT=PQ/2=AH/2)
=> R0 lớn nhất <=> AH lớn nhất <=> A là điểm chính giữa cung BC của (O). Khi đó AH < R
Vậy nên \(R_0\le\sqrt{\frac{R^2}{4}+R^2}=\frac{R\sqrt{5}}{2}=const\). Đạt được khi A trùng với trung điểm cung BC (A0).
Xin lỗi bạn nha ! Vì lỗi nên mình không vẽ được hình cho bạn ,có j bạn tự vẽ nha !!!
Bài giải
a) AB là tiếp tuyến tại A của ( C)
=> \(\widehat{BAF}=\widehat{AEF}\)
Xét \(\Delta ABF\)và \(\Delta EBA\)có :
\(\hept{\begin{cases}\widehat{ABE}chung\\\widehat{BAF}=\widehat{BEA}\end{cases}\Rightarrow\Delta ABF}\infty\Delta EBA\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AB}{BE}=\frac{BF}{AB}\Rightarrow AB^2=BE.BF\)
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A có đường cao AH .
=> AB2 =BH . BC
=> BH . BC = BE . BF ( =AB2 )
Xét \(\Delta BHF\)và \(\Delta BEC\)có :
\(\frac{BH}{BE}=\frac{BF}{BC}\)
\(\widehat{CBE}\)chung
=> \(\Delta BHF\infty\Delta BEC\left(c-g-c\right)\)
=> \(\widehat{BHF}=\widehat{BEC}\)
*) \(\widehat{BHF}+\widehat{FHC}=\widehat{BEC}+\widehat{FHC}\)
\(\Leftrightarrow\widehat{FEC}+\widehat{FHC}=\widehat{BHC}=180^O\)
=> EFHC là tứ giác nội tiếp ( có tổng 2 góc đối =180 o
b) EFHC là tứ giác nội tiếp
=> \(\widehat{EHC}=\widehat{EFC}\)( cùng chắn góc EC )
\(\widehat{FEC}=\widehat{BHF}\)( c/ m cân A )
Mà \(\widehat{FEC}=\widehat{EFC}\)( \(\Delta ECF\)cân ở C )
=> \(\widehat{EHC}=\widehat{BHF}\)
=> 90O \(-\widehat{EHC}=90^O-\widehat{BHF}\)
<=> \(\widehat{EHD}=\widehat{FHD}\)
=> HD là phân giác góc EHF
Bạn giải câu c dùm mình được không?
Mình không biết làm ,xin lỗi bạn nhiều nha ,mình xin lỗi bạn rất nhiều khi không đáp ứng được nhu cầu của bạn ,mình thành thật xin lỗi bạn rất rất nhiều !!! Bạn xem trong danh sách kết bạn ý ,mình có ghi đó !!
Thôi, không sao đâu, cậu không giải được thì mình cũng đâu ép đâu mà