a: Xét ΔCDE vuông tại D và ΔCAB vuông tại A có

góc ACB chung

Do dó ΔCDE đồng dạng với ΔCAB

=>CD/CA=CE/CB

=>CD/CE=CA/CB

=>ΔCDA đồng dạng với ΔCEB

=>EB/DA=BC/AC

mà BC/AC=AC/CH

nên EB/DA=AC/CH=BA/HA

=>BE/AD=BA/HA

=>\(BE=\dfrac{AB}{AH}\cdot AD=\dfrac{AB}{AH}\cdot\sqrt{AH^2+HD^2}\)

\(=\dfrac{AB}{AH}\cdot\sqrt{AH^2+AH^2}=AB\sqrt{2}\)

b: Xét ΔABE vuông tại A có sin AEB=AB/BE=1/căn 2

nên góc AEB=45 độ

=>ΔABE vuông cân tại A

=>AM vuông góc với BE

BM*BE=BA^2

BH*BC=BA^2

Do đó: BM*BE=BH/BC

=>BM/BC=BH/BE

=>ΔBMH đồng dạng với ΔBCE

. Xét hai tg BEC và ACD có ^C chung, tg AHD vuông cân tại H (HD = HA) nên ^ADH = 45 độ suy ra 
^ADC = 135 độ . Từ E vẽ thêm đường vuông góc AH tại K. Có tg AHB = tgEKA (vì AH = HD = KE, ^AEK = ^ACB = ^BAH) nên AB = AEVaayj tg BAE vuông cân tại A nên ^AEB = 45 độ suy ra ^BEC = 135 độ. Vậy ^BEC = ^ADC = 135 độ và ^C chung nên tg BEC và tam giác ADC đồng dạng. 
Suy ra BE = AB.căn2 = m.căn2 
b. Có AM = BE/2 (trung tuyến ứng cạnh huyền của tg vuôngBAE, DM = BE/2 trung tuyến ứng cạnh huyền của tg vuông BDE) vậy AM = MDHM chung AH = HD nên tgAHM = tgDHM(ccc) nên ^AHM = 
^MHD = 45 độ suy ra ^BHM = 90 độ + 45 độ = 135 độ = ^BEC . Hay tg BHM và tgBEC có ^BHM = ^BEC, ^MBH chung nên hai tam giác BHM và BEC đồng dạng (gg) . 
^AHM = 45 độ

a)Dựng HCn HDJA có góc BAH = JAE do cùng phụ HAC. Xét hcn HDJA có HD=HA=> HDJA là hình vuông=> JA=AH Xét tam giác BHA vuông tại H và EJA vuông tại J có JA=AH, BAH = JAE => tam giác BAH=EJA (CHGN ) => AE=EB (tương ứng) b) Xét tam giác ABE vuông tại A có AM trung tuyến ứng cạnh huyền BE => AM=BE/2 Xét tam giác BDE vuông tại D có DM là trung tuyến ứng cạnh huyền BE=> DM= BE/2 => MA=MD => M thuộc trung trực AD mà HJ là trung trực AD ( HDJA hình vuông => H,M,J thảng hàng => AHM = AHJ= 45 ( HDJA hình vuông) câu này mình có trl bên olm nh

a: 

Xét ΔAHD có AH=HD và góc AHD=90 độ

nên ΔAHD vuông cân tại H

=>góc HAD=góc HDA=45 độ

=>góc ADE=45 độ

Xét tứ giác ABDE có góc EAB+góc EDB=180 độ

nên ABDE là tứ giác nội tiếp

=>góc ABE=góc ADE=45 độ

Xét ΔEAB vuông tại A có góc ABE=45 độ

nên ΔEAB vuông cân tại A

=>AE=AB

b: Xét tứ giác AMHB có góc AMB=góc AHB=90 độ

nên AMHB là tứ giác nội tiếp

=>góc AHM=góc ABM=45 độ

a: 

Xét ΔAHD có AH=HD và góc AHD=90 độ

nên ΔAHD vuông cân tại H

=>góc HAD=góc HDA=45 độ

=>góc ADE=45 độ

Xét tứ giác ABDE có góc EAB+góc EDB=180 độ

nên ABDE là tứ giác nội tiếp

=>góc ABE=góc ADE=45 độ

Xét ΔEAB vuông tại A có góc ABE=45 độ

nên ΔEAB vuông cân tại A

=>AE=AB

b: Xét tứ giác AMHB có góc AMB=góc AHB=90 độ

nên AMHB là tứ giác nội tiếp

=>góc AHM=góc ABM=45 độ

a)Dựng HCn HDJA có góc BAH = JAE do cùng phụ HAC.

Xét hcn HDJA có HD=HA=> HDJA là hình vuông=> JA=AH

Xét tam giác BHA vuông tại H và EJA vuông tại J có JA=AH, BAH = JAE => tam giác BAH=EJA (CHGN ) => AE=EB (tương ứng)

b) Xét tam giác ABE vuông tại A có AM trung tuyến ứng cạnh huyền BE => AM=BE/2

Xét tam giác BDE vuông tại D có DM là trung tuyến ứng cạnh huyền BE=> DM= BE/2 => MA=MD => M thuộc trung trực AD mà HJ là trung trực AD ( HDJA hình vuông

=> H,M,J thảng hàng

=> AHM = AHJ= 45 ( HDJA hình vuông) Chúc học tốt:D

Bạn tự vẽ hình nhé!
a) Xét tam giác ADC và tam giác BEC có:

\(\widehat{C}\)chung

\(\frac{CD}{CE}=\frac{CA}{CB}\)(2 tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)

=> Tam giác ADC đồng dạng với tam giác BEC (cgc) (đpcm)

b) Tam giác AHD vuông tại H (gt)

=> \(\widehat{BEC}=\widehat{ADC}=135^o\)

Nên \(\widehat{AEB}=45^o\)do đó tam giác ABE vuông tại A 

=> BE=\(AB\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)

Nguồn: Đặng Thị Nhiên

c) Tam giác ABE vuông tại A nên tia AM là phân giác BAC

\(\Rightarrow\frac{GB}{GC}=\frac{AB}{AC}\)

Vì tam giác ABC đồng dạng tam giác DEC nên:

\(\frac{AB}{AC}=\frac{ED}{DC}=\frac{AH}{HC}=\frac{HD}{HC}\)(DE//AH)

Do đó: \(\frac{GB}{GC}=\frac{HD}{HC}\Rightarrow\frac{GB}{GB+GC}=\frac{HD}{HD+HC}\Rightarrow\frac{GB}{GC}=\frac{AH}{AH+HC}\left(đpcm\right)\)

Nguồn: Đặng Thị Nhiên

A B C E D M H G

b) Chứng minh tam giác BEC đồng dạng tam giác ADC

Xét \(\Delta CAB\)và \(\Delta CDE\) có:

^CAB = ^CDE (=1v)

^C chung 

=>  \(\Delta CAB\)~\(\Delta CDE\)

=> \(\frac{CB}{CE}=\frac{CA}{CD}\) (1) 

Xét \(\Delta CAD\)và \(\Delta CBE\)có:

\(\frac{CB}{CE}=\frac{CA}{CD}\)( từ (1))

và \(\widehat{C}\)chung

=>  \(\Delta CAD\)~ \(\Delta CBE\)

c) Chứng tam giác ABE vuông cân.

+) Ta có: AB \(\perp\)AC (\(\Delta\)ABC vuông )

mà E \(\in\)AC

=> AB \(\perp\)AE => \(\Delta\)ABE vuông  

+) Theo (a) =>   ^DAC = ^EBC  

Gọi N là giao điểm của AD và BE 

Xét \(\Delta\)DNB và  \(\Delta\)ENA có:

^ENA = ^DNB ( đối đỉnh)

^NBD = ^NAE (    vì ^DAC = ^EBC )  

=>  \(\Delta\)DNB ~  \(\Delta\)ENA  

=> ^NDB = ^NEA  

Xét  \(\Delta\)ABE và  \(\Delta\)HAD có:

^AEB = ^HDA ( vì ^NDB = ^NEA  )  (1)

^^BAE = ^AHD ( =1v)

=>   \(\Delta\)ABE ~  \(\Delta\)HAD

=> ^HAD = ^ ABE  (20

mà \(\Delta\)AHD có: AH=HD => \(\Delta\)AHD cân => ^HAD =^ HDA (3)

Từ (1) ; (2) ; (3) => ^ABE =^BEA =>\(\Delta\)ABE cân 

Vậy \(\Delta\) ABE vuông cân tại A

d) Ta có: M là trung điểm BE => AM là đường trung tuyến \(\Delta\)ABE mà \(\Delta\)ABE vuông cân tại A

=> AM là đường phân giác ^A của \(\Delta\)ABE

=> AG là đường phân giác ^A của \(\Delta\)ABC

Theo tính chất đường phân giác ta có: \(\frac{GB}{GC}=\frac{AB}{AC}\)

Mà \(\Delta\)ABH  ~\(\Delta\)CAH ( dễ tự chứng minh)

=> \(\frac{AB}{CA}=\frac{AH}{CH}\)

=> \(\frac{GB}{GC}=\frac{AH}{CH}\Rightarrow\frac{GB}{AH}=\frac{GC}{CH}=\frac{GB+GC}{AH+CH}=\frac{BC}{AH+CH}\)( tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

=> \(\frac{GC}{BC}=\frac{AH}{AH+CH}=\frac{DH}{AH+CH}\)( vì AH=DH)

(tớ mới giải được câu a)

Xét tam giác AHB và CHA => AH/CH = HB/AH mà AH=HD => tỉ số đồng dạng