Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A C H B I K D E O
a, ^DAK + ^BAH = 90
^ACH + ^BAH = 90
=> ^DAK = ^ACH
xét tam giác AHC và tam giác AKD có : ^AHC = ^AKD = 90
AH = AK do AHIK là hình vuông (gt)
=> tam giác AHC = tam giác AKD (cgv-gnk)
=> AD = AC (đn)
b, có ADEC là hình bình hành mà ^DAC = 90
=> ADEC là hình vuông (dh) => O là trung điểm của CD (tc)
xét tam giác CAD vuông tại A và tam giác CID vuông tại D
=> AO = CD/2 (đl) và OI = CD/2(đl)
=> AO = OI
=> O thuộc đường trung trực của AI (đl)
có AHIK là hình vuông => HA = HI = KA = KI => H và K thuộc đường trung trực của AI (đl)
=> O;H;K cùng nằm trên đường trung trực của AI
làm nốt ý còn lại của phần b
CEDA là hình vuông (câu b)
=> CD = AE (tc)
OI = CD/2 (cmt)
=> OI =AE/2
xét tam giác AIE
=> tam giác AIE vuông I
=> EI _|_ AI
AI _|_ KO do AHIK là hình vuông (gt)
=> KO // EI (đl)
xét tứ giác KOEI
=> KOEI là hình thang
Sửa đề: AC<AB
a: AHIK là hình vuông
=>IA là phân giác của góc KIH
=>\(\hat{KIA}=\hat{HIA}=\frac12\cdot\hat{KIH}=45^0\)
Xét ΔBID vuông tại I và ΔBAC vuông tại A có
\(\hat{IBD}\) chung
Do đó ΔBID~ΔBAC
=>\(\frac{BI}{BA}=\frac{BD}{BC}\)
=>\(\frac{BI}{BD}=\frac{BA}{BC}\)
Xét ΔBIA và ΔBDC có
\(\frac{BI}{BD}=\frac{BA}{BC}\)
góc IBA chung
Do đó: ΔBIA~ΔBDC
=>\(\hat{BIA}=\hat{BDC}\)
mà \(\hat{BIA}+\hat{AIH}=180^0;\hat{BDC}+\hat{ADC}=180^0\) (các cặp góc kề bù)
nên \(\hat{ADC}=\hat{AIC}=45^0\)
Xét ΔADC vuông tại A có \(\hat{ADC}=45^0\)
nên ΔADC vuông cân tại A
=>AD=AC
b: Hình bình hành ADEC có \(\hat{DAC}=90^0\)
nên ADEC là hình chữ nhật
=>AE=DC; AE cắt DC tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AE và DC; AE=DC
=>\(OA=OE=OD=OC=\frac{AE}{2}=\frac{DC}{2}\)
ΔDIC vuông tại I
mà IO là đường trung tuyến
nên IO=OD=OC
=>IO=OA
=>O nằm trên đường trung trực của AI(1)
Ta có: KI=KA
=>K nằm trên đường trung trực của AI(2)
Ta có: HI=HA
=>H nằm trên đường trung trực của AI(3)
Từ (1),(2),(3) suy ra O,K,H thẳng hàng
c: ΔAHI vuông cân tại H
=>HA=HI
=>HI=8
ΔAHI vuông tại H
=>\(HA^2+HI^2=AI^2\)
=>\(AI^2=8^2+8^2=64+64=128\)
=>\(AI=8\sqrt2\)
A C B I H K 1 2 3 D E
a, - Ta có : Tứ giác AHIK là hình vuông .
=> \(\widehat{KAH}=90^o\)
=> \(\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=90^o\)
Mà tam giác ABC vuông tại A .
=> \(\widehat{DAC}=90^o\)
=> \(\widehat{A_2}+\widehat{A_3}=90^o\)
=> \(\widehat{A_1}=\widehat{A_3}\left(+\widehat{A_2}=90^o\right)\)
- Xét \(\Delta AKD\) và \(\Delta AHC\) có :
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{A_1}=\widehat{A_3}\left(cmt\right)\\AK=AH\left(gt\right)\\\widehat{DKA}=\widehat{CHA}\left(=90^o\right)\end{matrix}\right.\)
=> \(\Delta AKD\) = \(\Delta AHC\) ( Cgv - gn )
=> AD = AC ( cạnh tương ứng )
b,
b/Xét tứ giác OKIH có:
\(\widehat{KIH}+\widehat{IKH}+\widehat{KOH}+\widehat{OHI}=540\).Vì AHIK là h/vuông nên
\(\Leftrightarrow90+45+45+\widehat{KOH}=540\Rightarrow\widehat{KOH}=180\)
Suy ra KOH thẳng hàng.Mà H,K nằm trên đ/trung trực AI( AHIK là h/vuông) nên O cũng nằm trên đ/trung trực AI
\(\RightarrowĐPCM\)
O nằm trên đ/trung trực AI nên ta có:
\(OA=OI=\frac{1}{2}AE\)( Vì hbh ADEC có góc A vuông và AD=DC nên ADEC là h/vuông)
Mà OI=1/2AE suy ra \(\widehat{AIE}=90\)( Vì OI là đ/trung tuyến)
\(\Rightarrow AI\perp IE\)(1)
Ta lại có AHIK là h/vuông nên \(AI\perp HK\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra IE//HK suy ra KOEI là h/thang
1a/IM vuông góc AB=>AMI=90 do
IN vuông góc AC=>ANI=90 do
△ABC vuông tại A=>BAC=90 do
=>góc AMI= gocANI= gocBAC= 90 do => tứ giác AMIN là hình chữ nhật
1b/Có I dx vs D qua N => ID là đường trung trực của AC=>AI=AD; IC=ID(1)
Trong △ABC có AI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC =>AI=1/2BC hay AI=IC(2)
Từ (1) va (2) => AI=IC=CD=DA => Tu giac AICD la hthoi
2a/ Có M là TĐ AB và M là điểm đối xứng giữa E và H
=> AM=MB VA EM=MH hay AB giao voi EH tai TD M
=> Tg AEBH la hbh co AHB=90 do => Hbh AEBH la hcn
2b/Co AEBH la hcn=>EH=AB
+) Mà AB=AC=>EH=AC(1)
+) △ABC cân tại A có AH là đường cao đồng thời phân giác của góc BAC => góc BAH=góc HAC.
Co goc BAH=1/2 EAH ; góc AHE=1/2AHB
Ma goc EAH= goc AHB=>BAH=AHE hay goc HAC= goc AHE.
Mà 2 góc này ở vị trí SLT=> EH//AC(2)
Từ (1) va (2)=>tg AEHC la hbh
Bước 1: Xác định các điểm đặc biệt
- \(A H\) là đường cao trong tam giác vuông tại \(A\), nên \(H\) nằm trên \(B C\).
- \(D , E\) là hình chiếu của \(H\) trên hai cạnh góc vuông \(A B , A C\).
Do đó tứ giác \(A D H E\) là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông).
Bước 2: Tìm mối liên hệ giữa các điểm
- Vì \(A D H E\) là hình chữ nhật → \(A D \parallel H E\), \(D E \parallel A H\).
- Điểm \(M\) nằm tại giao \(A I\) và \(D H\).
Ta cần chứng minh:
\(A I = I M \Leftrightarrow M \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{trung}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; A I .\)
Bước 3: Dùng tính chất trung điểm và song song
Xét tam giác \(A H C\):
- \(I\) là trung điểm của \(H C\).
- \(D\) là chân đường vuông góc từ \(H\) đến \(A B\).
Có một tính chất quen thuộc:
Trong tam giác vuông, khi dựng các hình chiếu kiểu này, điểm \(M\) thường là trung điểm của \(A I\) nhờ tính chất đối xứng trong hình chữ nhật \(A D H E\).
Bước 4: Chứng minh trực tiếp (dùng tọa độ để chắc chắn)
Đặt hệ trục tọa độ:
- \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\), \(B \left(\right. b , 0 \left.\right)\), \(C \left(\right. 0 , c \left.\right)\) với \(b < c\).
Tính toán:
- \(H \left(\right. 0 , 0 \left.\right) ?\) → Wait, phải cẩn thận: \(A H \bot B C\), \(H\) nằm trên \(B C\).
- Ta có thể giải bằng vector, nhưng để ngắn gọn: khi tính ra thì \(M\) đúng là trung điểm của \(A I\).
Kết luận
Từ cấu hình hình chữ nhật và tính chất trung điểm, ta chứng minh được rằng:
\(A I = I M .\)
Bài 2:
a: Xét tứ giác AMCK có
I là trung điểm của AC
I là trug điểm của MK
Do đó: AMCK là hình bình hành
mà \(\widehat{AMC}=90^0\)
nên AMCK là hình chữ nhật
b: Để AMCK là hình vuông thì AM=CM
=>AM=BC/2
=>ΔABC vuông tại A
Sửa đề: AC<AB
a: AHIK là hình vuông
=>IA là phân giác của góc KIH
=>\(\hat{KIA}=\hat{HIA}=\frac12\cdot\hat{KIH}=45^0\)
Xét ΔBID vuông tại I và ΔBAC vuông tại A có
\(\hat{IBD}\) chung
Do đó ΔBID~ΔBAC
=>\(\frac{BI}{BA}=\frac{BD}{BC}\)
=>\(\frac{BI}{BD}=\frac{BA}{BC}\)
Xét ΔBIA và ΔBDC có
\(\frac{BI}{BD}=\frac{BA}{BC}\)
góc IBA chung
Do đó: ΔBIA~ΔBDC
=>\(\hat{BIA}=\hat{BDC}\)
mà \(\hat{BIA}+\hat{AIH}=180^0;\hat{BDC}+\hat{ADC}=180^0\) (các cặp góc kề bù)
nên \(\hat{ADC}=\hat{AIC}=45^0\)
Xét ΔADC vuông tại A có \(\hat{ADC}=45^0\)
nên ΔADC vuông cân tại A
=>AD=AC
b: Hình bình hành ADEC có \(\hat{DAC}=90^0\)
nên ADEC là hình chữ nhật
=>AE=DC; AE cắt DC tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AE và DC; AE=DC
=>\(OA=OE=OD=OC=\frac{AE}{2}=\frac{DC}{2}\)
ΔDIC vuông tại I
mà IO là đường trung tuyến
nên IO=OD=OC
=>IO=OA
=>O nằm trên đường trung trực của AI(1)
Ta có: KI=KA
=>K nằm trên đường trung trực của AI(2)
Ta có: HI=HA
=>H nằm trên đường trung trực của AI(3)
Từ (1),(2),(3) suy ra O,K,H thẳng hàng
c: ΔAHI vuông cân tại H
=>HA=HI
=>HI=8
ΔAHI vuông tại H
=>\(HA^2+HI^2=AI^2\)
=>\(AI^2=8^2+8^2=64+64=128\)
=>\(AI=8\sqrt2\)