Gọi AM cắt DE tại I 

Theo tính chất hình chữ nhật ADHE : \(\widehat{E_1}=\widehat{HAC}=\widehat{MBA};\widehat{A_1}=\widehat{D_1}=\widehat{AHE}=\widehat{MCA}\)

\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{ACM}\Rightarrow\Delta ACM\)cân tại M \(\Rightarrow MA=MC\)(*)

Do \(\Delta AID\)vuông tại I suy ra 

\(\widehat{DAM}+\widehat{D_1}=90^0\Leftrightarrow\widehat{DAM}+\widehat{DAH}=90^0\left(1\right)\)

\(\widehat{ABM}+\widehat{DAH}=90^0\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{DAM}=\widehat{ABM}\)

\(\Rightarrow\Delta ABM\)cân tại M \(\Rightarrow MA=MB\)(**)

Từ (*);(**) suy ra MB=MC hay M là trung điểm BC . Do MF//AC suy ra 

\(\widehat{MFC}=\widehat{ACF}\)

Mà 

\(\widehat{ACF}=\widehat{MCF}\Rightarrow\widehat{MFC}=\widehat{MCF}\Rightarrow\Delta MFC\)cân tại M suy ra MC=MF

Mà MB=MC suy ra \(\Delta BFC\) có  FM là trung tuyến \(FM=\frac{1}{2}BC\Rightarrow\)  \(\Delta BFC\)vuông tại F hay  \(BF\perp CF\left(đpcm\right)\)

a: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

=>\(\hat{AED}=\hat{AHD}\)

mà \(\hat{AHD}=\hat{ABC}\left(=90^0-\hat{HAB}\right)\)

nên \(\hat{AED}=\hat{ABC}\)

Ta có: ADHE là hình chữ nhật

=>\(\hat{ADE}=\hat{AHE}\)

mà \(\hat{AHE}=\hat{ACH}\left(=90^0-\hat{HAC}\right)\)

nên \(\hat{ADE}=\hat{ACB}\)

Ta có: AI⊥DE

=>\(\hat{AED}+\hat{IAC}=90^0\)

=>\(\hat{ABC}+\hat{IAC}=90^0\)

mà \(\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\) (ΔABC vuông tại A)

nên \(\hat{IAC}=\hat{ICA}\)

=>IA=IC

Ta có: AI⊥DE

=>\(\hat{IAB}+\hat{ADE}=90^0\)

=>\(\hat{IAB}+\hat{ACB}=90^0\)

mà \(\hat{IBA}+\hat{ACB}=90^0\) (ΔABC vuông tại A)

nên \(\hat{IAB}=\hat{IBA}\)

=>IA=IB

mà IA=IC

nên IB=IC

=>I là trung điểm của BC

b: Sửa đề: cắt DH tại K

Xét ΔEAD vuông tại A và ΔHDA vuông tại D có

EA=HD

DA chung

Do đó: ΔEAD=ΔHDA

=>\(\hat{EDA}=\hat{HAD}\)

TA có: AK⊥IA

AI⊥DE

Do đó: DE//AK

=>\(\hat{EDA}=\hat{DAK}\) (hai góc so le trong)

mà \(\hat{EDA}=\hat{HAD}\) (cmt)

nên \(\hat{DAK}=\hat{DAH}\)

=>AB là phân giác của góc HAK

c: Sửa đề: \(AD\cdot DB+AE\cdot EC\le AI^2\)

Xét ΔHAB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(DA\cdot DB=HD^2\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(EA\cdot EC=HE^2\)

ADHE là hình chữ nhật

=>\(HD^2+HE^2=HA^2\)

=>\(AH^2=DA\cdot DB+EA\cdot EC\)

mà AH<=AI

nên \(DA\cdot DB+EA\cdot EC\le AI^2\)

Câu 1: 

a: Xét ΔAHB vuông tạiH có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

b: \(BC=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}\left(cm\right)\)

\(AH=\dfrac{4\cdot6}{2\sqrt{13}}=\dfrac{12}{\sqrt{13}}\left(cm\right)\)

\(AE=\dfrac{AH^2}{AC}=\dfrac{144}{13}:6=\dfrac{24}{13}\left(cm\right)\)