a: ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MB=MC=BC/2

Xét ΔMAB có MA=MB

nên ΔMAB cân tại M

=>\(\hat{MAB}=\hat{MBA}\)

b: Ta có: \(\hat{MAB}+\hat{AEF}=90^0\) (ΔAME vuông tại M)

\(\hat{MBA}+\hat{ACB}=90^0\) (ΔABC vuông tại A)

Do đó: \(\hat{AEF}=\hat{ACB}\)

Xét ΔMBE và ΔMFC có

\(\hat{MEB}=\hat{MCF}\)

\(\hat{BME}=\hat{FMC}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔMBE~ΔMFC

c: Xét ΔAEF vuông tại A và ΔACB vuông tại A có

\(\hat{AEF}=\hat{ACB}\)

Do đó: ΔAEF~ΔACB

=>\(\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}\)

=>\(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

A B C E F I M

a/ Xét tg vuông ABC có 

BM=CM (gt) => AM=BM=CM=BC/2 (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền)

=> tg ABM cân tại M => \(\widehat{BAM}=\widehat{ABM}\) (góc ở đáy tg cân)

b/ Xét tg vuông AEF và tg vuông AFM có

\(\widehat{AEF}=\widehat{FAM}\) (cùng phụ với \(\widehat{AFE}\) ) (1)

Mà AM=CM (cmt) => tg MAC cân tại M => \(\widehat{FAM}=\widehat{ACB}\) (góc ở đáy th cân) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{AEF}\)

Xét tg MBE và tg MFC có

\(\widehat{AEF}=\widehat{ACB}\) (cmt)

\(\widehat{BME}=\widehat{CMF}\) (góc đối đỉnh)

=> tg MBE đồng dạng với tg MFC (g.g.g)

c/ Xét tg vuông ABC và tg vuông AFE có

\(\widehat{AEF}=\widehat{ACB}\) (cmt)

=> tg ABC đông dạng với tg AFE

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AF}=\dfrac{AC}{AE}\Rightarrow AB.AE=AC.AF\)

d/

a: ΔABC vuông tại A

mà AM là trung tuyến

nên AM=MB=MC

=>góc MBA=góc MAB

b: góc AEF=90 độ-góc EAM=90 độ-góc B

=>gócAEF=góc ACB

c: Xét ΔAFE vuông tại A và ΔABC vuông tại A có

góc AEF=góc ACB

=>ΔAFE đồng dạng với ΔABC

=>AF/AB=AE/AC

=>AF*AC=AB*AE

Lời giải:

Bạn tự vẽ hình nhé.

a) Ta thấy \(\widehat{MFC}=90^0-\widehat{MAF}(1)\)

VÌ $AM$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(AM=\frac{BC}{2}=BM=MC\)

\(\Rightarrow \triangle AMB\) cân tại $M$

\(\Rightarrow \widehat{MBE}=\widehat{MBA}=\widehat{MAB}=90^0-\widehat{MAF}(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow \widehat{MFC}=\widehat{MBE}\)

Xét tam giác $MBE$ và $MFC$ có:

\(\left\{\begin{matrix} \widehat{MBE}=\widehat{MFC}\\ \widehat{BME}=\widehat{FMC}(\text{đối đỉnh})\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \triangle MBE\sim \triangle MFC(g.g)\)

b) Theo phần a thì \(\widehat{MBE}=\widehat{MFC}\Leftrightarrow \widehat{ABC}=\widehat{AFE}\)

Xét tam giác $ABC$ và $AFE$ có:

\(\left\{\begin{matrix} \widehat{ABC}=\widehat{AFE}\\ \text{chung góc A}\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle ABC\sim \triangle AFE(g.g)\)

\(\Rightarrow \frac{AB}{AF}=\frac{AC}{AE}\Rightarrow AB.AE=AC.AF\)

c)

Do $AH,AM$ là hai đường cao tương ứng đỉnh $A$ của hai tam giác đồng dạng $ABC$ và $AFE$ nên \(\frac{AH}{AM}=\frac{AB}{AF}=\frac{AC}{AE}\)

Do đó \(\frac{S_{ABC}}{S_{AEF}}=\frac{\frac{AB.AC}{2}}{\frac{AE.AF}{2}}=\frac{AB}{AF}.\frac{AC}{AE}=\left(\frac{AH}{AM}\right)^2(*)\)

Xét tam giác $AMI$ và $AHM$ có:

\(\left\{\begin{matrix} \text{chung góc A}\\ \widehat{AMI}=\widehat{AHM}=90^0\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle AMI\sim \triangle AHM(g.g)\)

\(\Rightarrow \frac{AM}{AI}=\frac{AH}{AM}(**)\)

Từ \((*);(**)\Rightarrow \frac{S_{ABC}}{S_{AEF}}=\left(\frac{AM}{AI}\right)^2\) (đpcm)