Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C H L F K O I G P D Q
a) Ta có: Điểm K đối xứng với điểm F qua AC => FC=KC; AF=AK
=> \(\Delta\)ACF=\(\Delta\)ACK (c.c.c) => ^AFC=^AKC (2 góc tương ứng)
Ta thấy tứ giác ABFC nội tiếp đường tròn tâm O => ^AFC=^ABC.
H là trực tâm của tam giác ABC => CH\(\perp\)AB (tại D)
=> ^HCB + ^ABC = 900 (1)
Lại có AH\(\perp\)BC => ^LHC + ^HCB = 900 (2)
Từ (1) và (2) => ^ABC=^LHC. Mà ^LHC + ^AHC = 1800
=> ^ABC + ^AHC = 1800. Do ^ABC=^AFC=^AKC (cmt) => ^AKC + ^AHC= 1800
Xét tứ giác AHCK có: ^AKC + ^AHC =1800 => Tứ giác AHCK nội tiếp đường tròn (đpcm).
b) AO cắt GI tại Q
Gọi giao điểm của AO và (O) là P = >^ACP=900 => ^CAP+^CPA=900 (*)
Thấy tứ giác ACPB nội tiếp đường tròn (O) => ^CPA=^ABC
Mà ^ABC+^AHC=1800 => ^CPA+^AHC=1800 (3).
Ta có tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp (cmt) => ^KAI=^CHI
Lại có \(\Delta\)ACF=\(\Delta\)ACK => ^FAC=^KAC hay ^KAI=^GAI => ^GAI=^CHI
Xét tứ giác AHGI: ^GAI=^GHI (=^CHI) (cmt) = >Tứ giác AHGI nội tiếp đường tròn
=> ^AIG+^AHG=1800 hay ^AIG + ^AHC=1800 (4)
Từ (3) và (4) => ^AIG=^CPA (**)
Từ (*) và (**) => ^CAP+^AIG=900 hay ^IAQ+^AIQ=900 => \(\Delta\)AIQ vuông tại Q
Vậy AO vuông góc với GI (đpcm).
a: \(AH=2\sqrt{6}\left(cm\right)\)
\(AB=2\sqrt{10}\left(cm\right)\)
\(AC=2\sqrt{15}\left(cm\right)\)
a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC
nên \(\left\{{}\begin{matrix}AH^2=HB\cdot HC\\AC^2=CH\cdot BC\\AB^2=BH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=2\sqrt{6}\left(cm\right)\\AC=2\sqrt{15}\left(cm\right)\\AB=2\sqrt{10}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)
a: BC=BH+CH=4+3=7(cm)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH^2=HB\cdot HC=3\cdot4=12\)
=>\(AH=\sqrt{12}=2\sqrt3\) (cm)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AB^2=BH\cdot BC=3\cdot7=21\)
=>\(AB=\sqrt{21}\) (cm)
b: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)
nên ADHE là hình chữ nhật
=>\(HA^2=HD^2+HE^2\)
Xét ΔHAB vuông tại H có HD là đường cao
nên \(DA\cdot DB=HD^2\)
Xét ΔHAC vuông tại H có HE là đường cao
nên \(EA\cdot EC=HE^2\)
\(DA\cdot DB+EA\cdot EC\)
\(=HD^2+HE^2=AH^2\)
c: Gọi O là giao điểm của AH và DE
ADHE là hình chữ nhật
=>AH=DE
ADHE là hình chữ nhật
=>AH cắt DE tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AH và DE
Ta có: \(OA=OH=\frac{AH}{2}\)
\(OD=OE=\frac{DE}{2}\)
mà AH=DE
nên OA=OH=OD=OE
Xét ΔOEK vuông tại E và ΔOHK vuông tại H có
OK chung
OE=OH
Do đó: ΔOEK=ΔOHK
=>KE=KH
=>ΔKHE cân tại K
Ta có: \(\hat{KEH}+\hat{KEC}=\hat{HEC}=90^0\)
\(\hat{KHE}+\hat{KCE}=90^0\) (ΔCKH vuông tại K)
mà \(\hat{KEH}=\hat{KHE}\)
nên \(\hat{KEC}=\hat{KCE}\)
=>KE=KC
=>KH=KC
=>K là trung điểm của CH
a: BC=BH+CH=4+3=7(cm)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH^2=HB\cdot HC=3\cdot4=12\)
=>\(AH=\sqrt{12}=2\sqrt3\) (cm)
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AB^2=BH\cdot BC=3\cdot7=21\)
=>\(AB=\sqrt{21}\) (cm)
b: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)
nên ADHE là hình chữ nhật
=>\(HA^2=HD^2+HE^2\)
Xét ΔHAB vuông tại H có HD là đường cao
nên \(DA\cdot DB=HD^2\)
Xét ΔHAC vuông tại H có HE là đường cao
nên \(EA\cdot EC=HE^2\)
\(DA\cdot DB+EA\cdot EC\)
\(=HD^2+HE^2=AH^2\)
c: Gọi O là giao điểm của AH và DE
ADHE là hình chữ nhật
=>AH=DE
ADHE là hình chữ nhật
=>AH cắt DE tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AH và DE
Ta có: \(OA=OH=\frac{AH}{2}\)
\(OD=OE=\frac{DE}{2}\)
mà AH=DE
nên OA=OH=OD=OE
Xét ΔOEK vuông tại E và ΔOHK vuông tại H có
OK chung
OE=OH
Do đó: ΔOEK=ΔOHK
=>KE=KH
=>ΔKHE cân tại K
Ta có: \(\hat{KEH}+\hat{KEC}=\hat{HEC}=90^0\)
\(\hat{KHE}+\hat{KCE}=90^0\) (ΔCKH vuông tại K)
mà \(\hat{KEH}=\hat{KHE}\)
nên \(\hat{KEC}=\hat{KCE}\)
=>KE=KC
=>KH=KC
=>K là trung điểm của CH
1 phần thôi nhé
Nối BE, Gọi P là giao điểm của AD với BE.
Áp dụng định lí Ceva cho tam giác ABE => AH/HE=BP/PE=> HP//AB(1).
Từ (1)=> Tam giác AHP cân tại H=> AH=HP.(2)
Ta cần chứng minh AD//CE <=> DP//CE <=> BD/BC=BP/BE <=> BD/BC=1-(EP/BE).(3)
Mà EP/BE=HP/AB (do (1))=> EP/BE= AH/AB=HD/DB (do (2) và tc phân giác). (4)
Khi đó (3)<=> BD/BC=1-(HD/DB) hay (BD/BC)+(HD/DB)=1 <=> BD^2+HD*BC=BC*DB
<=> BD^2+HD*BC= (BD+DC)*BD <=> BD^2+HD*BC= BD^2+BD*DC <=> HD*BC=BD*DC
<=> HD/DB=CD/BC <=> AH/AB=CD/BC. (5)
Chú ý: Ta cm được: CA=CD (biến đổi góc).
Nên (5) <=> AH/AB=CA/BC <=> Tg AHB đồng dạng Tg CAB.( luôn đúng)
=> DpCm.