TL :

a) Xét ΔABCΔABC có EE là trung điểm của ACAC và MM là trung điểm của BCBC

⇒EM⇒EM là đường trung bình của ΔABCΔABC

⇒EM//AB⇒EM//AB và EM=AB2=42=2EM=AB2=42=2 cm

a: E là trung điểm của AC

=>\(AE=EC=\frac{AC}{2}=\frac82=4\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔBAC có

E,M lần lượt là trung điểm của CA,CB

=>EM là đường trung bình của ΔBAC

=>EM//AB và \(EM=\frac{AB}{2}=\frac42=2\left(\operatorname{cm}\right)\)

b:

Xét tứ giác ABDE có

AB//DE
ED//AB

Do đó: ABDE là hình bình hành

Hình bình hành ABDE có \(\hat{BAE}=90^0\)

nên ABDE là hình chữ nhật

Hình chữ nhật ABDE có AB=AE
nên ABDE là hình vuông

c: ABDE là hình vuông

=>BD//AE và BD=AE

BD//AE

=>BD//EC

BD=AE

AE=EC

Do đó: BD=EC

Xét tứ giác BDCE có

BD//CE
BD=CE

Do đó: BDCE là hình bình hành

Lời giải:

Vì $M,E$ lần lượt là trung điểm của $BC, AC$ nên $ME$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ ứng với cạnh $AB$

$\Rightarrow ME=\frac{AB}{2}=\frac{4}{2}=2$ (cm)

Mặt khác, $ME$ là đường trung bình nên $ME\parallel AB$ hay $ED\parallel AB$

$Bx\parallel AC\Leftrightarrow BD\parallel AE$

Tứ giác $ABDE$ có 2 cặp cạnh đối $BD,AE$ và $AB, DE$ song song nhau nên $ABDE$ là hình bình hành. Mà $\widehat{A}=90^0$ (gt) nên $ABDE$ là hình chữ nhật. 

Hình chữ nhật $ABDE$ có cạnh kề $AB=AE(=4)$ nên $ABDE$ là hình vuông. (đpcm)

Hình vẽ:

a: Xét ΔCAB có

E,M lần lượt là trung điểm của CA,CB

=>EM là đường trung bình của ΔCAB

=>EM//AB và \(EM=\dfrac{AB}{2}\)

\(EM=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{4}{2}=2\left(cm\right)\)

b: Xét tứ giác ABDE có

DE//AB

BD//AE

Do đó: ABDE là hình bình hành

Hình bình hành ABDE có \(AB=AE\left(=\dfrac{AC}{2}\right)\)

nên ABDE là hình thoi

Hình thoi ABDE có \(\widehat{BAE}=90^0\)

nên ABDE là hình vuông

=>\(S_{ABDE}=AB^2=4^2=16\left(cm^2\right)\)

c: BAED là hình vuông

=>BD//AE và BD=AE

BD//AE

E\(\in\)AC

Do đó: BD//CE

BD=AE

AE=CE

Do đó: BD=CE

Xét tứ giác BDCE có

BD//CE

BD=CE

Do đó: BDCE là hình bình hành

=>BE=CD

ABDE là hình vuông

=>AD cắt BE tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm chung của AD và BE

=>\(BI=\dfrac{1}{2}BE\)

Xét ΔABC có

AM,BE là đường trung tuyến

AM cắt BE tại K

Do đó: K là trọng tâm của ΔABC

=>\(BK=\dfrac{2}{3}BE\)

\(\dfrac{BI}{BK}=\dfrac{\dfrac{1}{2}BE}{\dfrac{2}{3}BE}=\dfrac{1}{2}:\dfrac{2}{3}=\dfrac{3}{4}\)

=>\(BI=\dfrac{3}{4}BK\)

BI+IK=BK

=>\(\dfrac{3}{4}BK+IK=BK\)

=>\(IK=\dfrac{1}{4}BK=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot BE=\dfrac{1}{6}BE\)

mà BE=CD

nên \(IK=\dfrac{1}{6}CD\)

=>CD=6IK

Xét tam giác ABC có:

Elà trung điểm AC(gt)

Mlà trung điểm BC(gt)

Suy ra EM là đường trung bình của tam giác ABC(d/h dtb)

Do đó EM= 1/2 AB(t/c dtb)

EM=1/2 .4=2 cm

nên EM=2 cm

vậy EM

EM//AB(CMT)

hay DE//AB(M thuộc DE)

=)DE =AB(TC CĐCĐMĐT)

DE=4cm

TA CÓ DE=DM+ME(M THUỘC DE)

4=2+ME

=)ME=2cm

=)ME=DM=2cm

NÊN M là trung điểm DE

Xét tứ giác ABCD CÓ:

ED=AB=4cm(cmt)

ED//AB(CMT)

SUY RA ABDE là hbh (D/H)

BD=AE=1/2AC=1/2.8=4 cm

vậy BD =4 cm

xét hbh ABDE có :

AB=BD=ED=AE=4cm

nên ABDE LÀ HÌNH THOI(D/H)

XÉT HÌNH THOI ABDE CÓ GÓC A = 90⁰

VẬY ABDE LÀ HÌNH VUÔNG (D/H)

Xét ΔABC có 

E là trung điểm của AC

M là trung điểm của BC

Do đó: EM là đường trung bình

=>EM//AB

hay EM⊥AC

Xét tứ giác AEDB có

\(\widehat{DEA}=\widehat{DBA}=\widehat{EAB}=90^0\)

Do đó: AEDB là hình chữ nhật

mà AB=AE
nên AEDB là hình vuông

a:

Sửa đề: AB=6cm

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=6^2+8^2=100=10^2\)

=>BC=10(cm)

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên \(MA=MB=MC=\frac{BC}{2}=\frac{10}{2}=5\left(\operatorname{cm}\right)\)

b: Xét ΔABC có

M,E lần lượt là trung điểm của BC,CA

=>ME là đường trung bình của ΔABC

=>ME//AB

=>ME⊥AC tại E

Xét tứ giác ADME có \(\hat{ADM}=\hat{AEM}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADME là hình chữ nhật

Xét tứ giác AMCK có

E là trung điểm chung của AC và MK

=>AMCK là hình bình hành

Hình bình hành AMCK có MA=MC

nên AMCK là hình thoi

c: Gọi O là giao điểm của AM và DE

ADME là hình chữ nhật

=>AM cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AM và DE

ADME là hình chữ nhật

=>AM=DE

mà \(OA=OM=\frac{AM}{2};OD=OE=\frac{DE}{2}\)

nên \(OA=OM=OD=OE=\frac{AM}{2}=\frac{DE}{2}\)

ΔMHA vuông tại H

mà HO là đường trung tuyến

nên \(HO=\frac{MA}{2}\)

mà MA=DE
nên \(HO=\frac{DE}{2}\)

Xét ΔHDE có

HO là đường trung tuyến

\(HO=\frac{DE}{2}\)

Do đó: ΔHDE vuông tại H

=>\(HD^2+HE^2=ED^2\)

=>\(HD^2+HE^2=AM^2=\left(\frac12BC\right)^2=\frac14BC^2\)

=>\(BC^2=4\cdot HD^2+4\cdot HE^2\)