A B C D E H Q P O

a) Tg ADHE có \(\widehat{BAC}=\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=90^o\)

=> Tg ADHE là hcn

=> DE = AH ( t/c hcn )

b) ΔECH vuông ở E => EQ = HQ = \(\dfrac{1}{2}HC\)

+)Tg ADHE là hcn

=> OH = OE = OD

+)Xét ΔQEO và ΔQHO có :

HQ = EQ ( cmt )

OH = OE ( cmt )

OQ chung

=> ΔQEO = ΔQHO ( c.c.c )

=> \(\widehat{OHQ}=\widehat{OEQ}\\ mà:\widehat{OHQ}=90^o\Rightarrow\widehat{QEO}=90^o\Rightarrow EQ\perp DE\)

cmtt , được ΔDPO = ΔHPO ( c.c.c ) => PD ⊥ DE

+) \(EQ\perp DE\\ PD\perp DE\) ( cmt ) ==> EQ // PD => Tg DEQP là hình thang

mà \(\widehat{PDE}=90^o\left(cmt\right)\) => Tg DEQP là hình thang cân

c) Dễ c/m được QO là đường trung bình ΔAHC

=> QO // AC mà AC ⊥ AB => QO ⊥ AB

=> QO là đường cao ΔABQ tại đỉnh B

+) ΔABQ có AH , QO lần lượt là đường cao của BQ và AB

mà \(AH\cap QOtạiO\)

=> O là trực tâm ΔABQ

d) Ta có :

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}BC\cdot AH\\ =\dfrac{1}{2}\left(BH+CH\right)\cdot DE\\ =\dfrac{1}{2}\left(2DP+2EQ\right)\cdot DE\\ =\dfrac{1}{2}\cdot2\cdot\left(DP+EQ\right)\cdot DE\\ =\left(DP+EQ\right)\cdot ED\)

\(S_{DEQP}=\dfrac{1}{2}\left(DP+EQ\right)\cdot ED\)

mà S_ABC = ( DP + EQ ) . DE

=> S_ABC = 2S_DEQP

Giả thiết

Tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\).
\(A H\) là đường cao (\(H \in B C\)).
Qua \(H\) kẻ:

• \(H D \bot A B\) tại \(D\),
• \(H E \bot A C\) tại \(E\).

Gọi \(O = A H \cap D E\).
\(P , Q\) lần lượt là trung điểm của \(B H , C H\).

a) Chứng minh \(A H = D E\)

• Ta có:
  \(A B \bot A C \Rightarrow H D \parallel A C , H E \parallel A B\)
• Suy ra tứ giác \(A D H E\) có:
  \(A D \parallel H E , A E \parallel H D\)

⇒ \(A D H E\) là hình bình hành.

• Lại có:
  \(A D \bot A E \left(\right. \text{do}\&\text{nbsp}; A B \bot A C \left.\right)\)

⇒ \(A D H E\) là hình chữ nhật.

Trong hình chữ nhật:

• Hai đường chéo bằng nhau

⇒

\(A H = D E\)

✔ Chứng minh xong.

b) Chứng minh tứ giác \(D E Q P\) là hình thang vuông

Bước 1. Chứng minh \(P Q \parallel D E\)

• Trong tam giác \(B H C\):
• • \(P\) là trung điểm \(B H\),
  • \(Q\) là trung điểm \(C H\).

⇒ \(P Q\) là đường trung bình của tam giác \(B H C\):

\(P Q \parallel B C\)

• Mà \(A H \bot B C\) và \(D E \bot A H\) (do \(D E\) là đường chéo hình chữ nhật)

⇒

\(D E \parallel B C\)

Suy ra:

\(P Q \parallel D E\)

Bước 2. Chứng minh hình thang vuông

• Ta có:
  \(H D \bot A B \Rightarrow H D \bot D P\)
• Do đó một cạnh bên của hình thang vuông góc với đáy.

⇒ \(D E Q P\) là hình thang vuông.

c) Chứng minh \(O\) là trực tâm tam giác \(A B Q\)

• Ta có:
• • \(A H \bot B C \Rightarrow A H \bot B Q\)
  • \(D E \bot A H \Rightarrow D E \bot A B\)
• Điểm \(O\) là giao điểm của:
• • đường cao từ \(A\),
  • đường cao từ \(Q\).

⇒ \(O\) là trực tâm của tam giác \(A B Q\).

d) Chứng minh \(S_{A B C} = 2 S_{D E Q P}\)

• Vì \(P Q\) là đường trung bình của tam giác \(B H C\):

\(P Q = \frac{1}{2} B C\)

• Chiều cao hình thang \(D E Q P\) bằng \(H D = \frac{1}{2} A H\).

⇒

\(S_{D E Q P} = \frac{\left(\right. D E + P Q \left.\right) \cdot H D}{2} = \frac{\left(\right. A H + \frac{1}{2} B C \left.\right) \cdot \frac{1}{2} A H}{2}\)

• Trong khi:

\(S_{A B C} = \frac{1}{2} B C \cdot A H\)

So sánh suy ra:

\(S_{A B C} = 2 S_{D E Q P}\)

✔ Chứng minh hoàn tất.

✅ Kết luận

a) \(A H = D E\)
b) \(D E Q P\) là hình thang vuông
c) \(O\) là trực tâm tam giác \(A B Q\)
d) \(S_{A B C} = 2 S_{D E Q P}\)

a) Vì HD vuông góc với AB 

=> HDB = HDA = 90 độ

Mà BAC = 90 độ (gt)

=> BAC = BDH = 90 độ

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> DH //AE

=> DHEA là hình thang 

Mà HE vuông góc với AC

=> HEA = 90 độ

=> HEA = BAC = 90 độ

=> DHEA là hình thang cân 

=> DE = AH ( hình thang  cân hai đường chéo bằng nhau)

=> dpcm

a: Xét tứ giác ADHE có 

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{EAD}=90^0\)

Do đó: ADHE là hình chữ nhật

Suy ra:AH=DE

A B C H D E O P Q

câu a, dễ thấy tứ giác AEHD có 3 góc A=E=D=90 độ nên AEHD là hình chữ nhật, do đó AH=DE.

b.Xét tam giác BHD vuông tại D và có P là trung điểm BH do đso

\(\widehat{PDH}=\widehat{PHD}\)mà \(\widehat{PHD}=\widehat{QCE}\)( đồng vị)

và \(\widehat{QCE}=\widehat{QEC}\)

do đó ta có \(\widehat{PDH}=\widehat{QEC}\) mà HD//CE nên DP //QE . do đó DEPQ là hình thang