cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH ( H thuộc cạnh BC) .gọi D, E theo thứ tự chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB và AC .Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BH và CH .Gọi I là giao điểm của AH và ED 

1: cm tam giác DHE là tam giác vuông.Biết AB=3,AC=4, tính 

a: bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác DHE 

b: cos ACH

2: cm ED là tiếp tuyến của đường tròn đg kính CH

3: cm I thuộc đg tròn đg kính Mn

a: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

=>AH=DE

Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBAC vuông tại A có

\(\hat{HBA}\) chung

Do đó: ΔBHA~ΔBAC

=>\(\frac{BA}{BC}=\frac{AH}{AC}\)

=>\(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

b: ΔHDB vuông tại D

mà DM là đường trung tuyến

nên MH=MD

=>ΔMHD cân tại M

=>\(\hat{MDH}=\hat{MHD}\)

mà \(\hat{MHD}=\hat{HCA}=\hat{ACB}\) (hai góc đồng vị, DH//AC)

nên \(\hat{MDH}=\hat{ACB}\)

ADHE là hình chữ nhật

=>\(\hat{EDH}=\hat{EAH}=\hat{HAC}\)

Ta có; ΔCEH vuông tại E

mà EN là đường trung tuyến

nên NE=NH

=>ΔNEH cân tại N

=>\(\hat{NEH}=\hat{NHE}\)

mà \(\hat{NHE}=\hat{ABC}\) (hai góc đồng vị, HE//BA)

nên \(\hat{NEH}=\hat{ABC}\)

ADHE là hình chữ nhật

=>\(\hat{DEH}=\hat{DAH}=\hat{HAB}\)

\(\hat{EDM}=\hat{EDH}+\hat{MDH}\)

\(=\hat{HAC}+\hat{HCA}=90^0\)

=>ED⊥ DM tại D(1)

\(\hat{NED}=\hat{NEH}+\hat{DEH}\)

\(=\hat{HAB}+\hat{HBA}=90^0\)

=>NE⊥ ED (2)

Từ (1),(2) suy ra DM//NE

=>DMNE là hình thang

Hình thang DMNE có DE⊥ DM

nên DMNE là hình thang vuông

a, Xét tứ giác ADHE có : 

^A = ^ADH =  ^HEA = 90⁰

Vậy tứ giác ADHE là hcn 

Vậy AH = DE ( 2 đường chéo bằng nhau ) 

b, Xét tam giác AEH và tam giác AHC có : 

^AEH = ^AHC = 90⁰

^A _ chung 

Vậy tam giác AEH ~ tam giác AHC ( g.g ) 

=> AH/AC = AE/AH => AH^2 = AE.AC (1) 

tương tự với tam giác ADH ~ tam giác AHB (g.g)

=> AD/AH = AH/AB => AH^2=AD.AB (2) 

Từ (1) ; (2) suy ra AE.AC = AD.AB 

c, Xét tam giác ABH và tam giác CAH 

^AHB = ^CHA = 90⁰

^ABH = ^CAH ( cùng phụ ^BAH )

Vậy tam giác ABH ~ tam giác CAH (g.g)

=> AH/CH = BH/AH => AH^2 = BH.CH 

=> CH = AH^2/BH = 144/9 = 16

=> BC = BH + CH = 25 cm 

Diện tích tam giác ABC là : S_{ABC =} 1/2 . AH . BC 

= 1/2 . 12 . 25 = 150 cm²