Cho tam giác đều ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác, AD là đường cao. Trên
cạnh BC lấy điểm M. Từ M vẽ ME vuông góc với AB (E thuộc AB) và MF vuông góc với AC (F thuộc AC). Gọi I là
trung điểm của AM.
a) Chứng minh tứ giác DEIF là hình thoi.
b) Chứng minh các đường thẳng MH, ID, EF đồng quy
 

Cho tam giác ABC có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại điểm H, đường thẳng EF
cắt BC tại S. Gọi M là trung điểm của BC, đường thẳng qua M vuông góc với AC cắt
đường thẳng qua C vuông góc với BC tại điểm P.
1. Chứng minh: SM.SD = SB.SC.
2. Chứng minh: SP vuông góc với AM.
3. Chứng minh: S, H, P thẳng hàng.
 

Cho ABC có AD là phân giác. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B và C
trên tia AD.
a) Chứng minh ABH đồng dạng với ACK; BDH đồng dạng với CDK.
b) Chứng minh AH.DK AK.DH 
c) Tính độ dài AH biết BD 4cm,  CD 6cm,  AK 12cm.
 

Cho hình thoi 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴መ > 90௢). Gọi 𝐸 là hình chiếu vuông góc của 𝐴 trên 𝐵𝐶, 𝐹 là hình
chiếu vuông góc của 𝐶 trên 𝐴𝐷.
a) Tứ giác 𝐴𝐸𝐶𝐹 là hình gì? Vì sao?
b) 𝐵𝐷 cắt 𝐴𝐸 tại 𝐻, cắt 𝐶𝐹 tại 𝐾. Chứng minh rằng 𝐴𝐾 = 𝐶𝐻.
c) Gọi 𝐼 là giao điểm của 𝐴𝐾 và 𝐶𝐷, 𝐽 là giao điểm của 𝐶𝐻 và 𝐴𝐵. Chứng minh rằng 𝐸𝐼 ⊥ 𝐸𝐽
 

Cho hình thoi 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴መ > 90௢). Gọi 𝐸 là hình chiếu vuông góc của 𝐴 trên 𝐵𝐶, 𝐹 là hình
chiếu vuông góc của 𝐶 trên 𝐴𝐷.
a) Tứ giác 𝐴𝐸𝐶𝐹 là hình gì? Vì sao?
b) 𝐵𝐷 cắt 𝐴𝐸 tại 𝐻, cắt 𝐶𝐹 tại 𝐾. Chứng minh rằng 𝐴𝐾 = 𝐶𝐻.
c) Gọi 𝐼 là giao điểm của 𝐴𝐾 và 𝐶𝐷, 𝐽 là giao điểm của 𝐶𝐻 và 𝐴𝐵. Chứng minh rằng 𝐸𝐼 ⊥ 𝐸𝐽
 

Cho tam giác ABC có AB=AC và điểm K bất kì nằm giữa hai điểm A và B . Từ K vẽ đường
thẳng song song AC cắt BC tại E . Gọi M là trung điểm của EC .
a) Chứng minh KB=KE 
b) Đường thẳng KM cắt đường thẳng AC tại N . Chứng minh: KC//EN  và KB=NC  .
c) Chứng minh AK+AN không đổi khi K thay đổi.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Điểm D thuộc cạnh BC. Các hình chiếu của D trên AB, AC theo thứ tự là E, F.
a) Chứng minh rằng DEAF là hình chữ nhật. Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của DEAF.
Chứng minh HO = 1/2 EF, từ đó suy ra tam giác EHF vuông
 

Cho tứ giác ABCD có các đường thẳng AD, BC cắt nhau tại I. M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Đường thẳng MN cắt các đường thẳng AD, BC lần lượt tại E, F. Cho biết IE IF   0. Chứng minh:
AD BC  .
 

Cho A = 3x^3 -2x^2 + ax - a – 5 và B = x – 2. Tìm a để A⋮B
 

Cho bảng vuông kích thước 25.25. Mỗi ô trong bảng vuông được điền một trong hai
loại số 1 hoặc -1. Đặt ai là tích của tất cả các số ở dòng thứ i (i =1,2,...,25) và bj là tích của
tất cả các số ở cột thứ j (j =1,2,...,25). Chứng minh rằng a1+...+a25 +b1 +...+ b25 khác 0.