Lời giải:
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$AB^2=BH.BC$

$BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{9^2}{15}=5,4$ (cm)

$CH=BC-BH=15-5,4=9,6$ (cm)

$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{15^2-9^2}=12$ (cm) theo định lý Pitago

$AH=\frac{2S_{ABC}}{BC}=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{9.12}{15}=7,2$ (cm)

Hình vẽ:

Bài 1: 

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2=15^2-9^2=144\)

hay AC=12(cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{9^2}{15}=\dfrac{81}{15}=5.4\left(cm\right)\\CH=\dfrac{12^2}{15}=\dfrac{144}{15}=9,6\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔAHB vuông tại H, ta được:

\(AH^2+HB^2=AB^2\)

\(\Leftrightarrow AH^2=9^2-5.4^2=51,84\)

hay AH=7,2(cm)

Bài 6:

a: ΔOAB cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI⊥AB tại I

ΔOIA vuông tại I

=>\(OI^2+IA^2=OA^2\)

=>\(AI^2=10^2-7^2=100-49=51\)

=>\(AI=\sqrt{51}\left(\operatorname{cm}\right)\)

I là trung điểm của AB

=>\(AB=2\cdot AI=2\sqrt{51}\) (cm)

b: I là trung điểm của AB

=>\(IA=IB=\frac{14}{2}=7\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔOIA vuông tại I

=>\(OI^2+IA^2=OA^2\)

=>\(OI^2=10^2-7^2=100-49=51\)

=>\(OI=\sqrt{51}\left(\operatorname{cm}\right)\)

Bài 5:

BC=BH+CH=10+42=52(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC=10\cdot42=420\)

=>\(AH=\sqrt{420}=2\sqrt{105}\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\)

=>\(BA^2=10\cdot52=520\)

=>\(BA=2\sqrt{130}\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(CH\cdot CB=CA^2\)

=>\(CA^2=42\cdot52=2^2\cdot13\cdot42=4\cdot546\)

=>\(CA=2\sqrt{546}\left(\operatorname{cm}\right)\)

Bài 1:

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=15^2-9^2=225-81=144=12^2\)

=>AC=12(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot15=9\cdot12=108\)

=>AH=108/15=7,2(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\)

=>BH=9^2/15=5,4(cm)

BH+HC=BC

=>HC=15-5,4=9,6(cm)

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=10\left(cm\right)\\ \left\{{}\begin{matrix}AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=4,8\left(cm\right)\\CH=\dfrac{AC^2}{BC}=6,4\left(cm\right)\\BH=\dfrac{AB^2}{BC}=3,6\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Áp dụng PTG ta có: \(AB^2+AC^2=BC^2\Rightarrow BC=\sqrt{6^2+8^2}=10\)

Áp dụng HTL ta có: \(AB.AC=AH.BC\Rightarrow AH=\dfrac{6.8}{10}=4,8\)

Áp dụng HTL ta có:\(BH.BC=AB^2\Rightarrow BC=\dfrac{6^2}{10}=3,6\)

Áp dụng HTL ta có:\(CH.BC=AC^2\Rightarrow BC=\dfrac{8^2}{10}=6,4\)

b) Xét tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao nên ta có:

A B 2  = BH.BC

⇒

A C 2 = CH.BC

⇒

AH.BC = AB.AC

⇒

Vậy AH = 4,8 cm; BH = 3,6 cm; CH = 6,4 cm

Bài 5: 

Ta có: \(AB^2=BH\cdot BC\)

\(\Leftrightarrow BH\left(BH+9\right)=400\)

\(\Leftrightarrow BH^2+25HB-16HB-400=0\)

\(\Leftrightarrow BH=16\left(cm\right)\)

hay BC=25(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AC^2=CH\cdot BC\\AH\cdot BC=AB\cdot AC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AC=15\left(cm\right)\\AH=12\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

a: Bổ sung đề: AC=12cm

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(CA^2=CH\cdot CB\)

=>\(CB=\frac{12^2}{9,6}=\frac{144}{9,6}=15\left(\operatorname{cm}\right)\)

BH+CH=BC

=>BH=15-9,6=5,4(cm)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AB^2=15^2-12^2=225-144=81=9^2\)

=>AB=9(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AB\cdot AC=AH\cdot BC\)

=>\(AH=\frac{9\cdot12}{15}=\frac{108}{15}=7,2\left(cm\right)\)

ΔABC vuông tại A

=>\(S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC=\frac12\cdot9\cdot12=\frac12\cdot108=54\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

b: CK//AB

AB⊥CA

Do đó: CK⊥CA

=>ΔCAK vuông tại C

Xét ΔCAK vuông tại C có CH là đường cao

nên \(AH\cdot AK=AC^2\)

=>AK=16^2/7,2=256/7,2=1280/36=320/9(cm)

ΔACK vuông tại C

=>\(CA^2+CK^2=AK^2\)

=>\(CK^2=\left(\frac{320}{9}\right)^2-16^2=\frac{102400}{81}-256=\frac{81664}{81}\)

=>CK=\(\sqrt{\frac{81664}{81}}=\frac{4\sqrt{319}}{9}\) (cm)

c: Xét ΔHAB vuông tại H và ΔHKC vuông tại H có

\(\hat{HAB}=\hat{HKC}\) (hai góc so le trong, AB//CK)

Do đó: ΔHAB~ΔHKC

d: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(CH\cdot CB=CA^2\) (1)

Xét ΔACK vuông tại C có CH là đường cao

nên \(AH\cdot AK=AC^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(CH\cdot CB=AH\cdot AK\)