a: ΔBAC vuông tại B

=>\(BA^2+BC^2=AC^2\)

=>\(BC^2=10^2-6^2=100-36=64=8^2\)

=>BC=8(cm)

Xét ΔBAC vuông tại B có BH là đường cao

nên \(BH\cdot AC=BA\cdot BC\)

=>\(BH\cdot10=6\cdot8=48\)

=>BH=48/10=4,8(cm)

Xét ΔBAC vuông tại B có BH là đường cao

nên \(AH\cdot AC=AB^2\)

=>AH=6^2/10=3,6(cm)

AH+HC=AC
=>HC=10-3,6=6,4(cm)

b: Xét ΔBHA vuông tại H có HM là đường cao

nên \(BM\cdot BA=BH^2\left(1\right)\)

Xét ΔBHC vuông tại H có HN là đường cao

nên \(BN\cdot BC=BH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(BM\cdot BA=BN\cdot BC\)

a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC=4\cdot9=36=6^2\)

=>AH=6(cm)

b: Xét ΔHAB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

c: Gọi O là giao điểm của AH và DE

Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

=>AH cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AH và DE

TA có: ADHE là hình chữ nhật

=>AH=DE
mà \(OA=OH=\frac{AH}{2};OD=OE=\frac{DE}{2}\)

nên OA=OH=OD=OE

ΔHDB vuông tại D

mà DI là đường trung tuyến

nên ID=IH=IB=HB/2

ΔCEH vuông tại E

mà EK là đường trung tuyến

nên KE=KH=KC

Xét ΔOHI và ΔODI có

OH=OD

HI=DI

OI chung

Do đó:ΔOHI=ΔODI

=>\(\hat{ODI}=\hat{OHI}=90^0\)

=>DI⊥ DE tại D

Xét ΔKEO và ΔKHO có

KE=KH

OE=OH

KO chung

Do đó: ΔKEO=ΔKHO

=>\(\hat{KEO}=\hat{KHO}=90^0\)

=>DE⊥ EK tại E

mà DI⊥ DE tại D

nên DI//EK

=>DEKI là hình thang

Hình thang DEKI có DI⊥ DE

nên DEKI là hình thang vuông

=>\(S_{DEKI}=\frac12\left(DI+EK\right)\cdot DE\)

\(=\frac12\cdot AH\cdot\left(\frac12\cdot HB+\frac12\cdot HC\right)=\frac14\cdot AH\cdot BC=\frac14\cdot6\cdot13=\frac{78}{4}=19,5\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

b: Xét ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

a: BC=BH+CH

=4+9=13

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

=>\(AH^2=4\cdot9=36\)

=>AH=6

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot CB\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{4\cdot13}=2\sqrt{13}\\AC=\sqrt{9\cdot13}=3\sqrt{13}\end{matrix}\right.\)

b: ΔHAB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

ΔHAC vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1), (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

Có hình vẽ ko ạ

a: Sửa đề: \(AC=2\sqrt3\left(m\right)\)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=2^2+\left(2\sqrt3\right)^2=4+12=16\)

=>BC=4(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot4=2\cdot2\sqrt3=4\sqrt3\)

=>\(AH=\frac{4\sqrt3}{4}=\sqrt3\) (cm)

Xét ΔBAC vuông tại A có sin B=\(\frac{AC}{BC}=\frac{2\sqrt3}{4}=\frac{\sqrt3}{2}\)

nên \(\hat{B}=60^0\)

b: Xét ΔABE vuông tại A có AK là đường cao

nên \(BK\cdot BE=BA^2\left(1\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(BK\cdot BE=BH\cdot BC\)

Xét ΔEAB vuông tại A có AK là đường cao

nên \(EK\cdot EB=EA^2\)

=>\(EK\cdot EB=EC^2\)

=>\(\frac{EK}{EC}=\frac{EC}{EB}\)

Xét ΔEKC và ΔECB có

\(\frac{EK}{EC}=\frac{EC}{EB}\)

góc KEC chung

Do đó: ΔEKC~ΔECB

a: Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao ứng với cạnh huyền AB

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

b: Xét tứ giác AMHN có 

\(\widehat{NAM}=\widehat{ANH}=\widehat{AMH}=90^0\)

Do đó: AMHN là hình chữ nhật

Suy ra: AH=NM

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

hay AH=6(cm)

mà AH=NM

nên MN=6cm