Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
Gọi M là trung điểm của AD
\(BM=\sqrt{AB^2+AM^2}=\sqrt{4a^2+\dfrac{1}{4}a^2}=\dfrac{\sqrt{17}}{2}a\)
\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DB}\right|=2\cdot BM=\sqrt{17}a\)
Câu 1: \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=0\)
Bởi vì khi đó, IA và IB là hai vecto đối nhau
Suy ra: IA và IB là hai vecto cùng phương
mà IA và IB có điểm chung là I
nên A,I,B thẳng hàng và IA=IB
Suy ra: I là trung điểm của AB
a: \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}\)
ΔBAC vuông tại B
=>\(BA^2+BC^2=AC^2\)
=>\(AC^2=\left(3a\right)^2+\left(4a\right)^2=9a^2+16a^2=25a^2=\left(5a\right)^2\)
=>AC=5a
\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)
=>\(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}\)
=>\(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}\)
=>\(\overrightarrow{MB}=-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}\)
=>AMBC là hình bình hành
Xét ΔABC vuông tại B có sin BAC=\(\frac{BC}{CA}=\frac{4a}{5a}=\frac45\) ; cos BAC=\(\frac{BA}{AC}=\frac{3a}{5a}=\frac35\)
\(\sin CAM=\sin\left(CAB+BAM\right)\)
\(=\sin90^0\cdot cosBAC+cos90^0\cdot\sin BAC=cosBAC\) =3/5
=>\(cosCAM=-\sqrt{1-\sin^2CAM}=-\frac45\)
N là trung điểm của AC
=>\(AN=\frac{AC}{2}=2,5a\)
AMBC là hình bình hành
=>AM=BC=4a
Xét ΔAMN có \(cosNAM=\frac{AN^2+AM^2-MN^2}{2\cdot AN\cdot AM}\)
=>\(\frac{\left(2.5a\right)^2+\left(4a\right)^2-MN^2}{2\cdot2,5a\cdot4a}=\frac{-4}{5}\)
=>\(6,25a^2+16a^2-MN^2=-\frac45\cdot5a\cdot4a=-4a\cdot4a=-16a^2\)
=>\(MN^2=6.25a^2+16a^2+16a^2=38,25a^2\)
=>\(MN=\sqrt{38,25a^2}=a\cdot\sqrt{\frac{153}{4}}=a\cdot\frac{3\sqrt{17}}{2}\)
b:
Gọi I là trung điểm của BC
Xét ΔABC có AI là đường trung tuyến
nên \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\cdot\overrightarrow{AI}\)
\(\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{BN}\)
\(=\frac12\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BA}\right)=-\frac12\cdot\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)
\(=-\frac12\cdot2\cdot\overrightarrow{AI}=-\overrightarrow{AI}\)
a: Ta có: M là trung điểm của BC
=>\(\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{CM}\)
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AM}\)
\(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AM}\)
Do đó: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{MB}\)
b:
ΔABC cân tại A
=>\(\hat{ABC}=\hat{ACB}=\frac{180^0-\hat{BAC}}{2}=\frac{180^0-120^0}{2}=30^0\)
ΔABC cân tại A
mà AM là đường trung tuyến
nên AM⊥BC
Xét ΔAMB vuông tại M có \(\sin B=\frac{AM}{AB}\)
=>\(\frac{AM}{6}=\sin30=\frac12\)
=>AM=3(cm)
\(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CM}\right|=\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MC}\right|\)
\(=\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\right|=\left|\overrightarrow{AM}\right|=AM\) =3(cm)
Sửa đề: Chứng minh \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{MB}\)
\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AM}\)
\(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AC}\)
Do đó: \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{MC}\)
=>\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{MB}\)
Tam giác vuông cân tại C \(\Rightarrow AC=\dfrac{AB}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}\)
Do I là trung điểm BC \(\Rightarrow\overrightarrow{IC}=-\overrightarrow{IB}\)
Vậy:
\(\left|\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{IB}\right|=\left|\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC=a\sqrt{2}\)