- Tìm A’ đối xứng với A qua Oy , B’ đối xứng với A qua Ox

- Nối A’B’ cắt Ox tại B , cắt Oy tại C . Đó chính là hai điểm cần tìm

- Chứng minh B,C là hai điểm duy nhất cần tìm .

Thật vậy : Do A’ đối xứng với A qua Oy , cho nên CA=CA’ (1) . Mặt khác : B’ đối xứng với A qua Ox cho nên ta có BA=BB’ (2) .

Gọi P là chu vi tam giác ABC - do từ (1) và (2) - thì P=CA+CB+BA =CA’+CB+BB’=A’B’ 

- Kẻ đường kính BB’ .Nếu H là trực tâm của tam giác ABC thì AH=B’C. Do C,B’ cố định , cho nên B’C là một véc tơ cố định \(\overrightarrow{\Rightarrow AH}=\overrightarrow{B'C}\)

Theo định nghĩa về phép tịnh tiến điểm A đã biến thành điểm H . Nhưng A lại chạy trên (O;R) cho nên H chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của (O;R) qua phép tịnh tiến dọc theo \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{B'C}\)

- Cách xác định đường tròn (O’;R) . Từ O kẻ đường thẳng song song với B’C . Sau đó dựng véc tơ : \(\overrightarrow{OO'}=\overrightarrow{B'C}\). Cuối cùng từ O’ quay đường tròn bán kính R từ tâm O’ ta được đường tròn cần tìm .

Xét ΔBAC có

G là trọng tâm

M là trung điểm của BA

Do đó: C,G,M thẳng hàng

=>C∈GM⊂(MPG)

Trên mp(ABD), chọn I là giao điểm của MP và BD

C∈(MPG)

C∈(BCD)

Do đó: C∈(MPG) giao (BCD)(1)

I∈MP⊂(MPG)

I∈BD⊂(BCD)

Do đó: I∈(MPG) giao (BCD)(2)

Từ (1),(2) suy ra (MPG) giao (BCD)=CI

Có MC=2MI mà MI là đường trung tuyến của của \(\Delta ABC\) 

=>M là trọng tâm của tam giác ABC=>A,M,H thẳng hàngTrong mp(SAH)có :AN=2NS;AM=2MH=>MN//SH (Thales)Mà \(SH\perp\left(ABC\right)\);SH ko thuộc (ABC)=>MN vuông góc với (ABC)

P/s: Gợi ý này ok rồi nhé :> Mà sao ko thấy kí hiệu "ko thuộc" nhờ :v

Hình như tui nhấn Shift+Enter nên nó ko nhảy dòng rồi -.- Thôi kệ đi, bạn xem tạm nhé

a: M là trung điểm của AB

=>\(\overrightarrow{AM}=\frac12\cdot\overrightarrow{AB}\)

=>\(\overrightarrow{AB}=2\cdot\overrightarrow{AM}\)

=>B là ảnh của M qua phép vị tự tâm A, tỉ số 2(1)

A là ảnh của A qua phép vị tự tâm A, tỉ số 2(2)

N là trung điểm của AC

=>\(AN=\frac{AC}{2}\)

=>\(AC=2AN\)

=>\(\overrightarrow{AC}=2\cdot\overrightarrow{AN}\)

=>C là ảnh của N qua phép vị tự tâm A, tỉ số 2(3)
Từ (1),(2),(3) suy ra ΔABC là ảnh của ΔAMN qua phép vị tự tâm A, tỉ số 2

b: Xét ΔACB có

AP,BN,CM là các đường trung tuyến

G là trọng tâm

Do đó: AP,BN,CM đồng quy tại G

Xét ΔABC có

AP,BN,CM là các đường trung tuyến

G là trọng tâm

DO đó: AG=2GP; BG=2GN; CG=2GM

AG=2GP

=>\(GP=\frac12\cdot GA\)

=>\(\overrightarrow{GP}=-\frac12\cdot\overrightarrow{GA}\)

=>P là ảnh của A qua phép vị tự tâm G, tỉ số k=-1/2(4)

BG=2GN

=>\(GN=\frac12GB\)

=>\(\overrightarrow{GN}=-\frac12\cdot\overrightarrow{GB}\)

=>N là ảnh của B qua phép vị tự tâm G, tỉ số k=-1/2(5)

CG=2GM

=>\(GM=\frac12GC\)

=>\(\overrightarrow{GM}=-\frac12\cdot\overrightarrow{GC}\)

=>M là ảnh của C qua phép vị tự tâm G, tỉ số k=-1/2(6)

Từ (4),(5),(6) suy ra ΔPMN là ảnh của ΔABC qua phép vị tự tâm G, tỉ số k=-1/2

c: Trên tia đối của tia AC, lấy E sao cho AE=AN

=>\(AE=\frac12AC\)

=>\(\overrightarrow{AE}=-\frac12\cdot\overrightarrow{AC}\)

=>C là ảnh của E qua phép vị tự tâm A, tỉ số k=-2

=>E nằm trên tia đối của tia AC sao cho AE=1/2AC

d: \(C=V_{\left(B;2\right)}\left(D\right)\)

=>\(\overrightarrow{BC}=2\cdot\overrightarrow{BD}\)

mà \(\overrightarrow{BC}=2\cdot\overrightarrow{BP}\)

nên D trùng với P