1: Xét ΔDEM và ΔDAB có

DE=DA

\(\widehat{EDM}=\widehat{ADB}\)(hai góc đối đỉnh)

DM=DB

Do đó: ΔDEM=ΔDAB

=>\(\widehat{DEM}=\widehat{DAB}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên ME//AB

ΔDEM=ΔDAB

=>EM=AB

mà AB=CD/2

nên EM=CD/2

Xét ΔMDC có

ME là đường trung tuyến

\(ME=\dfrac{CD}{2}\)

Do đó: ΔMCD vuông tại M

=>\(\widehat{DMC}=90^0\)

Xét tứ giác ABCM có \(\widehat{CAB}=\widehat{CMB}=90^0\)

nên ABCM là tứ giác nội tiếp

Bạn tự vẽ hình nha

a) Xét \(\Delta\)ABC có:BI,CK là hai đường cao 

Mà BI cắt CK tại H(gt)

=> H là trực tâm \(\Delta\)ABC

=>AH cũng là đường cao thứ 3 của \(\Delta\)ABC

      Xét \(\Delta\)ABI và \(\Delta\)ACK có:

              ^AIB=^AKC =90(gt)

                ^A: góc chung

=> \(\Delta\)ABI ~\(\Delta\)ACK(g.g)

b) xét \(\Delta\)ADC và \(\Delta\)AID có:

           ^ADC=^AID=90(gt)

            ^A:góc chung

=> \(\Delta\)ADC~\(\Delta\)AID(g.g)

=>\(\frac{AD}{AI}=\frac{AC}{AD}\)

=> AD^2 =AC*AI

Câu d,c bk lm hok bạn

a:

ΔAEC vuông tại E

=>\(AE^2+EC^2=AC^2\)

=>\(CE^2=6^2-3^2=27\)

=>\(CE=3\sqrt3\) (cm)

Xét ΔCEA vuông tại E có cos CAE=\(\frac{CE}{CA}\)

\(=\frac{3\sqrt3}{6}=\frac{\sqrt3}{2}\)

=>\(\hat{CAE}=30^0\)

Xét ΔADB vuông tại D có cosDAB=\(\frac{AD}{AB}\)

=>\(\frac{AD}{4}=cos30=\) \(\frac{\sqrt3}{2}\)

=>\(AD=4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3\) (cm)

b: Xét ΔADE và ΔABC có

\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)

góc DAE chung

Do đó: ΔADE~ΔABC

=>\(\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt3}{2}\)

Giúp đi ạaaaa

Ta có: ΔABC đều, D ∈ AB, DE⊥AB, E ∈ BC
=> ΔBDE có các góc với số đo lần lượt là: 300
; 600
; 900
 => BD=1/2BE
Mà BD=1/3BA => BD=1/2AD => AD=BE => AB-AD=BC-BE (Do AB=BC)
=> BD=CE. 
Xét ΔBDE và ΔCEF: ^BDE=^CEF=900
; BD=CE; ^DBE=^ECF=600
=> ΔBDE=ΔCEF (g.c.g) => BE=CF => BC-BE=AC-CF => CE=AF=BD
Xét ΔBDE và ΔAFD: BE=AD; ^DBE=^FAD=600
; BD=AF => ΔBDE=ΔAFD (c.g.c)
=> ^BDE=^AFD=900
 =>DF⊥AC (đpcm).
b) Ta có: ΔBDE=ΔCEF=ΔAFD (cmt) => DE=EF=FD (các cạnh tương ứng)
=> Δ DEF đều (đpcm).
c) Δ DEF đều (cmt) => DE=EF=FD. Mà DF=FM=EN=DP => DF+FN=FE+EN=DE+DP <=> DM=FN=EP
Lại có: ^DEF=^DFE=^EDF=600=> ^PDM=^MFN=^NEP=1200
 (Kề bù)
=> ΔPDM=ΔMFN=ΔNEP (c.g.c) => PM=MN=NP => ΔMNP là tam giác đều.
d) Gọi AH; BI; CK lần lượt là các trung tuyến của  ΔABC, chúng cắt nhau tại O.
=> O là trọng tâm ΔABC (1)
Do ΔABC đều nên AH;BI;BK cũng là phân giác trong của tam giác => ^OAF=^OBD=^OCE=300
Đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác => OA=OB=OC
Xét 3 tam giác: ΔOAF; ΔOBD và ΔOCE:
AF=BD=CE
^OAF=^OBD=^OCE      => ΔOAF=ΔOBD=ΔOCE (c.g.c)
OA=OB=OC
=> OF=OD=OE => O là giao 3 đường trung trực  Δ DEF hay O là trọng tâm Δ DEF (2)
(Do tam giác DEF đề )
/

(Do tam giác DEF đều)
Dễ dàng c/m ^OFD=^OEF=^ODE=300
 => ^OFM=^OEN=^ODP (Kề bù)
Xét 3 tam giác: ΔODP; ΔOEN; ΔOFM:
OD=OE=OF
^ODP=^OEN=^OFM          => ΔODP=ΔOEN=ΔOFM (c.g.c)
OD=OE=OF (Tự c/m)
=> OP=ON=OM (Các cạnh tương ứng) => O là giao 3 đường trung trực của  ΔMNP
hay O là trọng tâm ΔMNP (3)
Từ (1); (2) và (3) => ΔABC; Δ DEF và ΔMNP có chung trọng tâm (đpcm).

a; Xét tứ giác AHEC có \(\hat{AHC}=\hat{AEC}\)

nên AHEC là tứ giác nội tiếp

b: AHEC là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{ECH}=\hat{EAH}=\hat{DAH}\) (1)

Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHD vuông tại H có

AH chung

HB=HD

Do đó: ΔAHB=ΔAHD

=>\(\hat{BAH}=\hat{DAH}\)

mà \(\hat{BAH}=\hat{ACB}\left(=90^0-\hat{ABC}\right)\)

nên \(\hat{DAH}=\hat{ACB}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\hat{ECH}=\hat{ACH}\)

=>CH là phân giác của góc ACE

Gọi AM cắt DE tại I 

Theo tính chất hình chữ nhật ADHE : \(\widehat{E_1}=\widehat{HAC}=\widehat{MBA};\widehat{A_1}=\widehat{D_1}=\widehat{AHE}=\widehat{MCA}\)

\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{ACM}\Rightarrow\Delta ACM\)cân tại M \(\Rightarrow MA=MC\)(*)

Do \(\Delta AID\)vuông tại I suy ra 

\(\widehat{DAM}+\widehat{D_1}=90^0\Leftrightarrow\widehat{DAM}+\widehat{DAH}=90^0\left(1\right)\)

\(\widehat{ABM}+\widehat{DAH}=90^0\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{DAM}=\widehat{ABM}\)

\(\Rightarrow\Delta ABM\)cân tại M \(\Rightarrow MA=MB\)(**)

Từ (*);(**) suy ra MB=MC hay M là trung điểm BC . Do MF//AC suy ra 

\(\widehat{MFC}=\widehat{ACF}\)

Mà 

\(\widehat{ACF}=\widehat{MCF}\Rightarrow\widehat{MFC}=\widehat{MCF}\Rightarrow\Delta MFC\)cân tại M suy ra MC=MF

Mà MB=MC suy ra \(\Delta BFC\) có  FM là trung tuyến \(FM=\frac{1}{2}BC\Rightarrow\)  \(\Delta BFC\)vuông tại F hay  \(BF\perp CF\left(đpcm\right)\)