\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}\)(D là trung điểm của BC) (1)

\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AK}\)(K là trung điểm của MN) (2)

Lấy (1) trừ (2) có: \(\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)-\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)=2\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AK}\right)\)

⇔\(\dfrac{\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)-\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)}{2}\)=\(\overrightarrow{KD}\)

⇔\(\dfrac{\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)-\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)}{2}\)=\(\overrightarrow{KD}\)

⇔\(\dfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}}{2}\)=\(\overrightarrow{KD}\)

⇔\(\dfrac{\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}}{2}\)=\(\overrightarrow{KD}\)

⇔\(\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)=\(\overrightarrow{KD}\)

Gọi H là trung điểm của BK

Xét ΔKAB có

M,H lần lượt là trung điểm của KA,KB

=>MH là đường trung bình của ΔKAB

=>MH//AB và \(MH=\frac{AB}{2}\)

MH//AB

AB⊥BC

Do đó: MH⊥BC

Xét ΔBMC có

MH,BK là các đường cao

MH cắt BK tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔBMC

=>CH⊥MB

MH//AB

AB//CD

Do đó: MH//CD

=>MH//CN

\(MH=\frac{AB}{2}\)

\(CN=ND=\frac{CD}{2}\)

mà AB=CD

nên MH=CN=ND

Xét tứ giác MHCN có

MH//CN

MH=CN

Do đó: MHCN là hình bình hành

=>CH//MN

mà CH⊥MB

nên MB⊥MN

=>ΔMBN vuông tại M

Để ΔMBN vuông cân tại M thì \(\hat{MBN}=\hat{MNB}=45^0\)

Xét tứ giác MBCN có \(\hat{BMN}+\hat{BCN}=90^0+90^0=180^0\)

nên MBCN nội tiếp

=>\(\hat{MCB}=\hat{MNB}=45^0\)

=>\(\hat{ACB}=45^0\)

=>ΔABC vuông cân tại B

=>BA=BC

=>a=b

\(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}\right)\)

a) Xét hai tam giác AMC và ANB có :

AM = AN (vì M,N trung điểm của AB = AC)

\(\widehat{A}\) chung

AC = AB (gt)

\(\Rightarrow\Delta AMC=\Delta ANB\left(c.g.c\right)\)

b) Từ \(\Delta AMC=\Delta ANB\) (câu a) \(\Rightarrow\widehat{ACM}=\widehat{ABN}\) (2 góc tương ứng)

a: Xét (O) có

góc BEC, góc BDC đều là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

=>góc BEC=góc BDC=90 độ

=>CE vuông góc AB, BD vuông góc AC

Xét ΔABC có

CE,BD là đường cao

CE cắt BD tại H

=>H là trực tâm

=>AH vuông góc BC tại F

góc BEH+góc BFH=180 độ

=>BEHF nội tiếp
b: Xét ΔHCB có CO/CB=CM/CH

nên OM//BH

=>góc COM=góc CBH

=>góc COM=góc FEC

=>góc MOF+góc FEM=180 độ

=>OMEF nội tiếp

Giúp mk với

\(tanB=\dfrac{AC}{AB}=\sqrt{3}\Rightarrow B=60^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{B}=60^0\)

\(AM=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}\sqrt{AB^2+AC^2}=a\)

\(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM}=-AB.AM.cos\widehat{BAM}=-\dfrac{a^2}{2}\)