a)

– Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

– Tọa độ trực tâm H của tam giác ABC:

Cách 1:

+ Phương trình đường cao BD:

BD ⊥ AC ⇒ Đường thẳng BD nhận  là một vtpt

BD đi qua B(2; 7)

⇒ Phương trình đường thẳng BD: 7(x - 2) +11(y - 7) = 0 hay 7x + 11y – 91 = 0

+ Phương trình đường cao CE:

CE ⊥ AB ⇒ Đường thẳng CE nhận  là một vtpt

CE đi qua C(–3; –8)

⇒ Phương trình đường thẳng CE: 1(x + 3) – 2(y + 8)=0 hay x – 2y – 13 = 0.

Trực tâm H là giao điểm của BD và CE nên tọa độ của H là nghiệm của hpt:

Cách 2: Gọi H(x, y) là trực tâm tam giác ABC

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

b) Gọi T(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Khi đó TA = TB = TC = R.

+ TA = TB ⇒ AT2 = BT2

⇒ (x – 4)2 + (y – 3)2 = (x – 2)2 + (y – 7)2

⇒ x2 – 8x + 16 + y2 – 6y + 9 = x2 – 4x + 4 + y2 – 14y + 49

⇒ 4x – 8y = –28

⇒ x – 2y = –7 (1)

+ TB = TC ⇒ TB2 = TC2

⇒ (x – 2)2 + (y – 7)2 = (x + 3)2 + (y + 8)2

⇒ x2 – 4x + 4 + y2 – 14y + 49 = x2 + 6x + 9 + y2 + 16y + 64

⇒ 10x + 30y = –20

⇒ x + 3y = –2 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ x = –5, y = 1 ⇒ T(–5 ; 1).

⇒ T, H, G thẳng hàng.

c) Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC: T(–5; 1)

Bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC:

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

(x + 5)2 + (y – 1)2 = 85

a: A(-2;2); B(6;6); C(2;-2); H(x;y)

H là trực tâm của ΔABC

=>AH⊥BC và CH⊥AB

\(\overrightarrow{BC}=\left(2-6;-2-6\right)=\left(-4;-8\right)\) ; \(\overrightarrow{AH}=\left(x+2;y-2\right)\)

AH⊥BC

=>\(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0\)

=>-4(x+2)+(-8)(y-2)=0

=>x+2+2(y-2)=0

=>x+2+2y-4=0

=>x+2y-2=0

\(\overrightarrow{AB}=\left(6+2;6-2\right)=\left(8;4\right);\overrightarrow{CH}=\left(x-2;y+2\right)\)

CH⊥AB

=>\(\overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{AB}=0\)

=>8(x-2)+4(y+2)=0

=>2(x-2)+y+2=0

=>2x-4+y+2=0

=>y+2x-2=0

=>y=-2x+2

x+2y-2=0

=>x+2(-2x+2)-2=0

=>x-4x+4-2=0

=>-3x+2=0

=>-3x=-2

=>\(x=\frac23\)

=>\(y=-2x+2=-2\cdot\frac23+2=2-\frac43=\frac23\)

=>H(2/3;2/3)

Tọa độ trọng tâm G là:

\(\begin{cases}x_{G}=\frac13\cdot\left(x_{A}+x_{B}+x_{C}\right)=\frac13\left(-2+6+2\right)=\frac13\cdot6=2\\ y_{G}=\frac13\left(y_{A}+y_{B}+y_{C}\right)=\frac13\left(2+6-2\right)=\frac13\cdot6=2\end{cases}\)

=>G(2;2)

I(x;y); A(-2;2); B(6;6); C(2;-2)

\(IA^2=\left(-2-x\right)^2+\left(2-y\right)^2=\left(x+2\right)^2+\left(y-2\right)^2\)

\(IB^2=\left(6-x\right)^2+\left(6-y\right)^2=\left(x-6\right)^2+\left(y-6\right)^2\)

\(IC^2=\left(2-x\right)^2+\left(-2-y\right)^2=\left(x-2\right)^2+\left(y+2\right)^2\)

IA=IB=IC

=>\(\begin{cases}IA^2=IB^2\\ IB^2=IC^2\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}\left(x+2\right)^2+\left(y-2\right)^2=\left(x-6\right)^2+\left(y-6\right)^2\\ \left(x-6\right)^2+\left(y-6\right)^2=\left(x-2\right)^2+\left(y+2\right)^2\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x^2+4x+4+y^2-4y+4=x^2-12x+36+y^2-12y+36\\ x^2-12x+36+y^2-12y+36=x^2-4x+4+y^2+4y+4\end{cases}\)

=>4x-4y+8=-12x-12y+72 và -12x-12y+72=-4x+4y+8

=>16x-8y=64 và -8x-16y=-64

=>2x-y=8 và x+2y=8

=>2x-y=x+2y và 2x-y=8

=>x=3y và 2*3y-y=8

=>x=3y và 5y=8

=>y=1,6 và x=3y=4,8

=>I(4,8; 1,6)

a) \(G\left(-1;-\dfrac{4}{3}\right);H\left(11;-2\right);I\left(-7;-1\right)\)

b) \(\overrightarrow{IH}=3\overrightarrow{IG}\) suy ra I, G, H thẳng hàng

c) \(\left(x+7\right)^2+\left(y+1\right)^2=85\)

a) Từ giả thiết suy ra \(\overrightarrow{AB}=\left(2;2\right);\overrightarrow{BC}=\left(-1;-5\right)\) 

Do \(2:\left(-1\right)\ne2:\left(-5\right)\) nên A, B, C không thẳng hàng hay A, B, C là ba đỉnh của một tam giác

b)

- Gọi \(G\left(x_1;y_1\right)\) là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó \(x_1=\frac{1+3+3}{3}=2\) và \(y_1=\frac{2+4+\left(-1\right)}{3}=\frac{5}{3}\)

Suy ra \(G\left(2;\frac{5}{3}\right)\)

- Gọi \(H\left(x_2,y_2\right)\) là trực tâm của tam giác ABC. Khi đó H thỏa mãn :

\(\begin{cases}AH\perp BC\\CH\perp AB\end{cases}\) \(\Rightarrow\begin{cases}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\\\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{AB}=0\end{cases}\)

Từ đó, ta có hệ 

\(\begin{cases}x_2+5y_2-6=0\\x_2+y_2-1=0\end{cases}\)

Giải hệ thu được ( \(x_2;y_2\)) \(=\left(-\frac{3}{4};\frac{7}{4}\right)\) do đó \(H\left(-\frac{3}{4};\frac{7}{4}\right)\)

- Gọi \(I\left(x_3,y_3\right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC,

do \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IH}\) nên ta có hệ :

\(\begin{cases}1-x_3+3-x_3+2-x_3=-\frac{3}{4}-x_3\\2-y_4+4-y_3-1-y_3=\frac{7}{4}-y_3\end{cases}\)

Giải hệ ta thu được \(\left(x_3,y_3\right)=\left(\frac{27}{8};\frac{13}{8}\right)\)

Do đó \(I\left(\frac{27}{8};\frac{13}{8}\right)\)

1). Gọi DE cắt (O) tại P khác D. Do AD là đường kính của (O), suy ra A P D ^ = 90 0 , mà A H E ^ = 90 0 ( do  H E ∥ B C ⊥ H A  ), nên tứ giác APEH nội tiếp.

Ta có A P H ^ = A E H ^  (góc nội tiếp)

= A C B ^ H E ∥ B C = A P B ^ (góc nội tiếp)

⇒ P H ≡ P B

2). Ta có H P ⊥ A C ⇒ A E H ^ = A H P ^ = A E P ^  

Suy ra EA là phân giác ngoài đỉnh E của tam giác DEF

Tương tự FA là phân giác ngoài đỉnh F của tam giác DEF

Suy ra A là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh D của tam giác DEF

3). Do I là tâm nội tiếp nên EI là tia phân giác trong.

Mà EA là tia phân giác ngoài, suy ra  E I ⊥ A C ⇒ E I ∥ H B

Tương tự F I ∥ H C ;   E F ∥ B C ⇒ Δ I E F   v à   Δ H B C có cạnh tương ứng song song, nên BE; CF và IH đồng quy.