a: Xet ΔAHN và ΔCHM có

AH=CH

góc HAN=góc HCM

AN=CM

=>ΔAHN=ΔCHM

b: Xet ΔAHM và ΔBHN co

AH=BH

góc HAM=góc HBN

AM=BN

=>ΔAHM=ΔBHN

a) Xét t/g AMD và t/g CMB có:

AM = MC (gt)

AMD = CMB ( đối đỉnh)

MD = MB (gt)

Do đó, t/g AMD = t/g CMB (c.g.c)

=> AD = BC (2 cạnh tương ứng) (đpcm)

b) Xét t/g BMA và t/g DMC có:

MB = MD (gt)

BMA = DMC ( đối đỉnh)

MA = MC (gt)

Do đó, t/g BMA = t/g DMC (c.g.c)

=> ABM = CDM (2 góc tương ứng)

Mà ABM và CDM là 2 góc ở vị trí so le trong nên AB // CD

Mà AB _|_ AC (gt) => AC _|_ CD hay AC _|_ DN

Có: BN // AC (gt)

AB // CN (cmt)

=> AB = CN ( tính chất đoạn chắn)

Xét t/g ABM vuông tại A và t/g CNM vuông tại C có:

AB = CN (cmt)

AM = CM (gt)

Do đó, t/g ABM = t/g CNM (2 cạnh góc vuông) (đpcm)

Sửa đề: CHo ΔABC vuông tại A có \(\hat{ABC}=60^0\)

a: ΔABC vuông tại A

=>\(\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)

=>\(\hat{ACB}=90^0-60^0=30^0\)

Xét ΔABC có \(\hat{ABC}>\hat{ACB}\left(60^0>30^0\right)\)

mà AC,AB lần lượt là cạnh đối diện của các góc ABC, ACB

nên AC>AB

Xét ΔABC có AB<AC

mà HB,HC lần lượt là hình chiếu của AB,AC trên BC

nên HB<HC

b: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHM vuông tại H có

AH chung

HB=HM

Do đó: ΔAHB=ΔAHM

=>AB=AM

Xét ΔABM có AB=AM và \(\hat{ABM}=60^0\)

nên ΔABM đều

c: Ta có: ΔMAB đều

=>\(\hat{MAB}=\hat{MBA}=60^0\)

Ta có: \(\hat{MAB}+\hat{MAC}=\hat{BAC}=90^0\)

\(\hat{MBA}+\hat{MCA}=90^0\) (ΔABC vuông tại A)

mà \(\hat{MAB}=\hat{MBA}\)

nên \(\hat{MAC}=\hat{MCA}\)

=>MA=MC

mà MA=MB

nên MB=MC

=>M là trung điểm của BC

ΔMAB đều

=>AB=BM

mà BC=2BM

nên BC=2BA
=>BC=8(cm) và AM=4cm

Xét ΔABC có

AM,BN là các đường trung tuyến

AM cắt BN tại O

Do đó: O là trọng tâm của ΔABC

=>\(AO=\frac23AM=\frac23\cdot4=\frac83\left(\operatorname{cm}\right)\)

a: ΔABC vuông tại A

=>\(\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)

=>\(\hat{ACB}=90^0-30^0=60^0\)

CD là phân giác của góc ACB

=>\(\hat{ACD}=\hat{BCD}=\frac12\cdot60^0=30^0\)

Xét ΔDBC có \(\hat{DBC}=\hat{DCB}\left(=30^0\right)\)

nên ΔDBC cân tại D

Xét ΔCAD vuông tại A và ΔCHD vuông tại H có

CD chung

\(\hat{ACD}=\hat{HCD}\)

Do đó: ΔCAD=ΔCHD

=>CA=CH và DA=DH

Xét ΔCAH có CA=CH và \(\hat{ACH}=60^0\)

nên ΔCAH đều

b: ΔCAH đều

=>\(\hat{CAH}=\hat{CHA}=60^0\)

Ta có: \(\hat{CAH}+\hat{HAB}=\hat{CAB}\)

=>\(\hat{HAB}=90^0-60^0=30^0\)

Xét ΔHAB có \(\hat{HAB}=\hat{HBA}\left(=30^0\right)\)

nên ΔHAB cân tại H

=>HA=HB

mà HA=HC

nên HB=HC

=>H là trung điểm của BC

=>BC=2CH=2CA

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AB^2=BC^2-AC^2=3\cdot AC^2\)

=>\(3\cdot AC^2=5^2=25\)

=>\(AC^2=\frac{25}{3}\)

=>\(AC=\frac{5\sqrt3}{3}\left(\operatorname{cm}\right)\)

=>\(BC=2\cdot AC=2\cdot\frac{5\sqrt3}{3}=\frac{10\sqrt3}{3}\left(\operatorname{cm}\right)\)

c: Xét ΔCHI vuông tại H và ΔCAB vuông tại A có

CH=CA
\(\hat{HCI}\) chung

Do đó: ΔCHI=ΔCAB

=>CI=CB

Xét ΔCBI có CI=CB và \(\hat{BCI}=60^0\)

nên ΔBCI đều