Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
C B A M N x y 2y 2x O
Giả sử hai đường trung tuyến CM và BN vuông góc với nhau tại O.
Đặt OM = y , ON = x (x,y > 0) , suy ra OB = 2x , OC = 2y
Ta có : \(AB^2=\left(2BM\right)^2=4BM^2=4\left(4x^2+y^2\right)\)
\(AC^2=\left(2CN\right)^2=4CN^2=4\left(4y^2+x^2\right)\)
\(\Rightarrow AB^2+AC^2=4\left(4x^2+y^2\right)+4\left(4y^2+x^2\right)\)
\(=4\left(5x^2+5y^2\right)=5\left(4x^2+4y^2\right)=5\left[\left(2x\right)^2+\left(2y\right)^2\right]\)
\(=5\left(OB^2+OC^2\right)=BC^2\)
\(\Rightarrow AB^2+AC^2=5BC^2\)
đề sai \(BM+CN>\frac{3}{2}BC\)\(\Leftrightarrow\)\(2BM+2CN>3BC\)\(\Leftrightarrow\)\(AB+AC>3BC\) không phải tam giác nào cũng có 3 cạnh thoả mãn bđt này, bn xem lại đề nhé
Bạn tham khảo nha : https://diendantoanhoc.net/topic/53004-cho-tam-giac-abc-va-hai-trung-tuy%E1%BA%BFn-bn-va-cm-vuong-goc-v%E1%BB%9Bi-nhau-ch%E1%BB%A9ng-minh-cotgbcotgc-23/page-1
a)
b) \(\hept{\begin{cases}AM^2=AH^2+HM^2=\left(AC^2-HC^2\right)+\left(MC-HC\right)^2=AC^2+MC^2-2MC.HC=AC^2+\frac{BC^2}{4}-BC.HC\\AM^2=AH^2+HM^2=\left(AB^2-BH^2\right)+\left(BH-BM\right)^2=AB^2+BM^2-2BH.BM=AB^2+\frac{BC^2}{4}-BC.BH\end{cases}}\)
\(\Rightarrow2AM^2=AB^2+AC^2+\frac{BC^2}{2}-BC\left(HC+BH\right)=AB^2+AC^2+\frac{BC^2}{2}-BC^2=AB^2+AC^2-\frac{BC^2}{2}\)
\(CMTT\Rightarrow\hept{\begin{cases}4BM^2=2AB^2+2BC^2-AC^2\\4CN^2=2AC^2+2BC^2-AB^2\end{cases}\left(4\right)}\)
\(BM\perp CN\Leftrightarrow BG^2+CG^2=BC^2\Leftrightarrow\left(\frac{2}{3}BN\right)^2+\left(\frac{2}{3}CN\right)^2=BC^2\Leftrightarrow4BN^2+4CN^2=9BC^2\left(5\right) \)
\(Từ\left(4\right),\left(5\right)\Rightarrow\left(2AB^2+2BC^2-AC^2\right)+\left(2AC^2+2BC^2-AB^2\right)=9BC^2\Leftrightarrow5BC^2=AB^2+AC^2\left(đpcm\right)\)
A B C N M M H