Ta có: \(\overrightarrow{MA}+2\cdot\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\overrightarrow{MA}=-2\cdot\overrightarrow{MB}\)

=>M nằm giữa A và B sao cho MA=2MB

Ta có: MA+MB=AB

=>AB=MB+2MB=3MB

=>\(BM=\frac13BA;AM=\frac23AB\)

Ta có: \(\overrightarrow{NB}\cdot4+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\overrightarrow{NC}=-4\cdot\overrightarrow{NB}\)

=>N nằm giữa B và C sao cho NC=4NB

NC+NB=BC

=>BC=4NB+NB=5NB

=>\(\frac{CN}{CB}=\frac45\)

Ta có: \(-\overrightarrow{PC}+2\cdot\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\overrightarrow{PC}=2\cdot\overrightarrow{PA}\)

=>A nằm giữa P và C sao cho PC=2PA

=>A là trung điểm của PC

=>PC=2AC

\(\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\frac23\cdot\overrightarrow{AB}\)

\(\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CN}\)

\(=2\cdot\overrightarrow{AC}+\frac45\cdot\overrightarrow{CB}=2\cdot\overrightarrow{AC}+\frac45\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\right)\)

\(=2\cdot\overrightarrow{AC}-\frac45\cdot\overrightarrow{AC}+\frac45\cdot\overrightarrow{AB}=\frac65\cdot\overrightarrow{AC}+\frac45\cdot\overrightarrow{AB}=\frac65\cdot\left(\overrightarrow{AC}+\frac23\cdot\overrightarrow{AB}\right)\)

\(=\frac65\cdot\overrightarrow{PM}\)

=>P,N,M thẳng hàng

Có \(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{MC}\).
Suy ra: \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}\)
Vậy điểm M được xác định sao cho \(\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}\).
A B C M

Đáp án C

a: \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DB}\)

\(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DB}\)

Do đó: \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}\)

=>\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\)

b: \(\overrightarrow{MA}-2\cdot\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\overrightarrow{MA}=2\cdot\overrightarrow{MB}\)

=>B là trung điểm của MA

=>\(\overrightarrow{AM}=2\cdot\overrightarrow{AB}\)

\(2\cdot\overrightarrow{NC}+3\cdot\overrightarrow{NA}=\overrightarrow{0}\)

=>\(3\cdot\overrightarrow{NA}=-2\cdot\overrightarrow{NC}\)

=>\(\overrightarrow{NA}=-\frac23\cdot\overrightarrow{NC}\)

=>N nằm giữa A và C sao cho \(AN=\frac23NC\)

AN+NC=AC

=>\(AC=\frac23NC+NC=\frac53NC\)

=>\(\overrightarrow{CN}=\frac35\cdot\overrightarrow{CA};\overrightarrow{AN}=\frac25\cdot\overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{\left.0\right.}\)

=>\(\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MB}\)

=>M là trung điểm của AB

\(2\cdot\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}\)

=>\(\overrightarrow{NC}=-2\cdot\overrightarrow{NA}=2\cdot\overrightarrow{AN}\)

=>N nằm giữa A và C sao cho NC=2NA

\(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MI}=\frac12\cdot\overrightarrow{AB}+\frac12\cdot\overrightarrow{MN}\)

\(=\frac12\cdot\overrightarrow{AB}+\frac12\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}\right)=\frac12\cdot\overrightarrow{AB}+\frac12\cdot\left(-\frac12\cdot\overrightarrow{AB}+\frac13\cdot\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=\frac14\cdot\overrightarrow{AB}+\frac16\cdot\overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{DB}=k\cdot\overrightarrow{DC}\)

=>\(\overrightarrow{BD}=-k\cdot\overrightarrow{DC}\)

=>\(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}=-k\cdot\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DC}\left(-k+1\right)\)

=>\(\overrightarrow{BC}=\left(-k+1\right)\cdot\overrightarrow{DC}\)

=>\(\frac{\overrightarrow{BD}}{\overrightarrow{BC}}=\frac{-k\cdot\overrightarrow{DC}}{\left(-k+1\right)\cdot\overrightarrow{DC}}=\frac{-k}{-k+1}=\frac{k}{k-1}\)

=>\(\overrightarrow{BD}=\frac{k}{k-1}\cdot\overrightarrow{BC}\)

\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{k}{k-1}\cdot\overrightarrow{BC}\)

\(=\overrightarrow{AB}+\frac{k}{k-1}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=\left(1-\frac{k}{k-1}\right)\cdot\overrightarrow{AB}+\frac{k}{k-1}\cdot\overrightarrow{AC}\)

\(=\frac{-1}{k-1}\cdot\overrightarrow{AB}+\frac{k}{k-1}\cdot\overrightarrow{AC}\)

Để A,I,D thẳng hàng thì \(\frac{-1}{k-1}:\frac14=\frac{k}{k-1}:\frac16\)

=>\(\frac{-4}{k-1}=\frac{6k}{k-1}\)

=>6k=-4

=>\(k=-\frac23\)

*bạn kí tự vecto vào bài nhé 

Gọi trọng tâm tam giác ABC là G 

Ta có \(2GB+3GC=2\left(GM+MB\right)+3\left(GM+MC\right)=5GM+2MB+3MC=5GM\)

tượng tự \(2GC+3GA=5GN\)

\(2GA+3GB=5GP\)

cộng vế với vế ta được 

\(GA+GB+BC=GN+GM+GP\Leftrightarrow GN+GM+GP=0\)

Vậy G là trọng tâm tam giác MNP 

Đáp án A