a) Xét ∆ADC có : 

CH là trung tuyến AD ( AH = HD )

CH là đường cao 

=> ∆ADC cân tại C 

=> CH là phân giác DCA 

Hay CB là phân giác DCA

b) Xét ∆ vuông BHA và ∆ vuông DHE ta có : 

BHA = DHE 

HA = HD 

=> ∆BHA = ∆DHE (cgv-gn)

=> BAH = HDE 

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

=> BA//DE

c) Chứng minh DKA = 90° 

=> HK = HD = HA ( tính chất )

=> HK = \(\frac{1}{2}\:AD\)

Ta đặt $H$ là trung điểm của $BC$ vì $\triangle ABC$ cân tại $A$ và $AH\perp BC$.

Suy ra:

$BH=HC=\frac{BC}{2}$

Vì $\triangle ABC$ cân tại $A$ nên:

$AB=AC$

Trong hai tam giác vuông $\triangle AHB$ và $\triangle DHC$:

$AH=HD$

$BH=HC$

$\widehat{AHB}=\widehat{DHC}=90^\circ$

Suy ra:

$\triangle AHB=\triangle DHC$

Do đó:

$AB=DC$

Mà $AB=AC$ nên:

$\boxed{AC=CD}$

Vậy $\boxed{\triangle ACD\text{ cân tại }C}$.

Ta có:

$AC=CD$ (câu a)

$CE=CB$

Mà:

$AC=AB$

và $\triangle ABC$ cân tại $A$ nên:

$\widehat{ACB}=\widehat{ABC}$

Do $E$ nằm trên tia đối của tia $CB$ nên:

$\widehat{ACE}=180^\circ-\widehat{ACB}$

Mặt khác, $D,H,B,C$ thẳng hàng và $\triangle DHC$ vuông tại $H$, suy ra:

$\widehat{DCE}=180^\circ-\widehat{DCH}$

Mà:

$\widehat{DCH}=\widehat{ACB}$

nên:

$\widehat{DCE}=180^\circ-\widehat{ACB}$

Suy ra:

$\widehat{ACE}=\widehat{DCE}$

Có:

$AC=DC$

$CE=CE$

$\widehat{ACE}=\widehat{DCE}$

Do đó:

$\boxed{\triangle ACE=\triangle DCE}$ (c.g.c)

Có một vấn đề: với đúng giả thiết bạn ghi thì mệnh đề này không đúng trong mọi trường hợp.

Đặt:

$BH=HC=x,\quad AH=h$

Khi đó:

$AB=AC=\sqrt{x^2+h^2}$

$BC=2x$

Ta có thể tính được:

$DK=\frac{2}{3}\sqrt{4x^2+h^2}$

Vì vậy bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

$\sqrt{x^2+h^2}+2x>\frac{4}{3}\sqrt{4x^2+h^2}$

Bất đẳng thức này không luôn đúng. Ví dụ lấy:

$BH=HC=1,\quad AH=10$

thì:

$AB=\sqrt{101}$

$BC=2$

$2DK=\frac{4\sqrt{104}}{3}\approx13,60$

nhưng:

$AB+BC\approx12,05<13,60$

Vì vậy câu c có thể bị thiếu điều kiện hoặc đề bị chép sai. N

a) Xét tam giác AHB và tam giác AHE có

  BH=HE

  AH chung

  góc AHE= góc AHB= 90 độ ( AH vuông góc với BC)

  => tam giác AHB= tam giác AHE (c.g.c)

  =>HE=HB

b) Xét tam giác AHB và tam giác DHE có

   góc DHE = góc AHB ( đối  đỉnh)

   HE=HB (cmt)

   AH=HD

 => tam giác AHB=tam giác DHE (c.g.c)

 => DE= AB ( 2 cạnh tương ứng)

=> tam giác DHE= tam giác AHE =tam giác AHB

=> AE=DE(2 cạnh tương ứng)

c) Xét tam giác AHC và tam giác DHC có

  HC chung

  góc AHE=góc DHE=90 độ

  AH=HD

 => tam giác AHC= tam giác DHC( cạnh huyền-góc nhọn)

=>AC=DC (2 cạnh tương ứng)

Xét tam giác ACE và tam giác DCE có

  AE= DE (cmt)

  AC= DC(cmt)

  CE chung

 => tam giác ACE= tam giác DCE(c.c.c)

 => góc EAC= góc EDC (2 góc tương ứng)

d)Ta có: C,E,B thẳng hàng

=> góc CEA+ góc AEB= 180 độ

Mà góc CEN và góc AEB là 2 góc đối đỉnh

=>góc AEC+ góc CEN= 180 độ

 => A,E,N thẳng hàng

a: Đặt AB/3=AC/4=k

=>AB=3k; AC=4k

Xét ΔBAC vuông tại A có \(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow25k^2=100\)

=>k=2

=>AB=6cm; AC=8cm

b: Xét ΔCAD có

CH là đường cao

CH là đường trung tuyến

Do đo: ΔCAD cân tại C

hay CA=CD

Xét ΔBAD có

BH là đườg cao

BH là đường trung tuyến

Do đo:ΔBAD cân tại B

Xét ΔCAB và ΔCDB có

CA=CD

AB=DB

CB chung

Do đó: ΔCAB=ΔCDB
Suy ra: \(\widehat{CAB}=\widehat{CDB}=90^0\)

hay ΔBDC vuông tại D

c: Xét ΔDAE có

C là trung điểm của DE

H là trung điểm của DA

DO đó:CH là đường trung bình

=>CH//AE
hay AE//BC