a: Xét ΔADE có

AG vừa là đường cao, vừa là phân giác

nên ΔADE cân tại A

=>AD=AE

góc BFD=góc DEA

góc BDF=góc BEA

Do đo: góc BFD=góc BDF

=>ΔBFD cân tại B

b: Xét ΔBMF và ΔCME có

góc BMF=góc CME
MB=MC

góc MBF=góc MCE
Do đó: ΔBMF=ΔCME

=>MF=ME

=>M là trung điểm của EF

c: AC-AB=AE+EC-AD+DB

=2BD

Ta có: ΔABC đều, D ∈ AB, DE⊥AB, E ∈ BC
=> ΔBDE có các góc với số đo lần lượt là: 300
; 600
; 900
 => BD=1/2BE
Mà BD=1/3BA => BD=1/2AD => AD=BE => AB-AD=BC-BE (Do AB=BC)
=> BD=CE. 
Xét ΔBDE và ΔCEF: ^BDE=^CEF=900
; BD=CE; ^DBE=^ECF=600
=> ΔBDE=ΔCEF (g.c.g) => BE=CF => BC-BE=AC-CF => CE=AF=BD
Xét ΔBDE và ΔAFD: BE=AD; ^DBE=^FAD=600
; BD=AF => ΔBDE=ΔAFD (c.g.c)
=> ^BDE=^AFD=900
 =>DF⊥AC (đpcm).
b) Ta có: ΔBDE=ΔCEF=ΔAFD (cmt) => DE=EF=FD (các cạnh tương ứng)
=> Δ DEF đều (đpcm).
c) Δ DEF đều (cmt) => DE=EF=FD. Mà DF=FM=EN=DP => DF+FN=FE+EN=DE+DP <=> DM=FN=EP
Lại có: ^DEF=^DFE=^EDF=600=> ^PDM=^MFN=^NEP=1200
 (Kề bù)
=> ΔPDM=ΔMFN=ΔNEP (c.g.c) => PM=MN=NP => ΔMNP là tam giác đều.
d) Gọi AH; BI; CK lần lượt là các trung tuyến của  ΔABC, chúng cắt nhau tại O.
=> O là trọng tâm ΔABC (1)
Do ΔABC đều nên AH;BI;BK cũng là phân giác trong của tam giác => ^OAF=^OBD=^OCE=300
Đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác => OA=OB=OC
Xét 3 tam giác: ΔOAF; ΔOBD và ΔOCE:
AF=BD=CE
^OAF=^OBD=^OCE      => ΔOAF=ΔOBD=ΔOCE (c.g.c)
OA=OB=OC
=> OF=OD=OE => O là giao 3 đường trung trực  Δ DEF hay O là trọng tâm Δ DEF (2)
(Do tam giác DEF đề )
/

(Do tam giác DEF đều)
Dễ dàng c/m ^OFD=^OEF=^ODE=300
 => ^OFM=^OEN=^ODP (Kề bù)
Xét 3 tam giác: ΔODP; ΔOEN; ΔOFM:
OD=OE=OF
^ODP=^OEN=^OFM          => ΔODP=ΔOEN=ΔOFM (c.g.c)
OD=OE=OF (Tự c/m)
=> OP=ON=OM (Các cạnh tương ứng) => O là giao 3 đường trung trực của  ΔMNP
hay O là trọng tâm ΔMNP (3)
Từ (1); (2) và (3) => ΔABC; Δ DEF và ΔMNP có chung trọng tâm (đpcm).

Hình bn tự vẽ nha!!^^

a, Xét \(\Delta ADM\)VÀ \(\Delta ADN\)có:'

\(\widehat{MAD}=\widehat{DAN}\)(tia p/g \(\widehat{BAN}\))

\(AD\)chung

\(\widehat{ADN}=\widehat{ADM}\)(Đg thg \(\perp\))(=90 độ)

\(\Rightarrow\Delta'ADM=\Delta ADN\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{M}=\widehat{N}\)(2 góc t/ứ)

Xét tam giác AMN có: \(\widehat{M}=\widehat{N}\Rightarrow\Delta AMN\)là tam giác cân  tại A

a: Sửa đề: AB<AC

Xét ΔEAD và ΔFDA có

\(\hat{EAD}=\hat{FDA}\) (hai góc so le trong, AE//DF)

AD chung

\(\hat{EDA}=\hat{FAD}\) (hai góc so le trong, AF//DE)

Do đó: ΔEAD=ΔFDA

=>EA=FD; ED=FA

Ta có: DF//AB

=>\(\hat{FDA}=\hat{DAB}\) (hai góc so le trong)

mà \(\hat{DAB}=\hat{FAD}\)(AD là phân giác của góc BAC)

nên \(\hat{FAD}=\hat{FDA}\)

=>FA=FD
mà EA=FD; ED=FA

nên EA=FD=ED=FA

b: Ta có: AE=AF

=>A nằm trên đường trung trực của EF(1)

DE=DF

=>D nằm trên đường trung trực của EF(2)

Từ (1),(2) suy ra AD là đường trung trực của EF

=>AD⊥EF

mà AD⊥PQ

nên EF//PQ

c: Qua B, kẻ BK//AC(K∈PQ)

Xét ΔMBK và ΔMCQ có

\(\hat{MBK}=\hat{MCQ}\) (hai góc so le trong, BK//CQ)

MB=MC

\(\hat{BMK}=\hat{CMQ}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔMBK=ΔMCQ

=>BK=CQ

Xét ΔAPQ có EF//PQ

nên \(\frac{AE}{AP}=\frac{AF}{AQ}\)

mà AE=AF

nên AP=AQ

=>ΔAPQ cân tại A

=>\(\hat{AQP}=\hat{APQ}\)

mà \(\hat{AQP}=\hat{BKP}\) (hai góc đồng vị, BK//AQ)

nên \(\hat{BKP}=\hat{BPK}\)

=>BK=BP

mà BK=CQ

nên BP=CQ

thua